高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-3-1双曲线的标准方程

2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为()A．y＝0B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不对[答案]C[解析]||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴x＝0.2．双曲线x216－y29＝1的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(0，－7)，(0，7)C．(－5,0)，(5,0)D．(0，－5)，(0,5)[答案]C[解析]16＋9＝c2＝25，∴c＝5，∵焦点在x轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为()A.12B.32C.72D．5[答案]C[解析]点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.故选C.4．已知双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2mB．4a＋2mC．a＋mD．2a＋4m[答案]B[解析]由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a.又|AF1|＋|BF1|＝AB＝m，∴△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.5．设P为双曲线x2－y212＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF1|＝3：2，则△PF1F2的面积为()A．63B．12C．123D．24[答案]B[解析]设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则x－y＝2，xy＝32，解得x＝6y＝4又|F1F2|＝213由余弦定理得cos∠F1PF2＝16＋36－4×132×4×6＝0.∴S△PF1F2＝12x·y·sin∠F1PF2＝4×6×12×1＝12.6．若椭圆x2m＋y2n＝1(mn0)和双曲线x2a－y2b＝1(a0.b0)有相同的焦点，P是两曲线上的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－aB．m－bC．m2－a2D.m－b[答案]A[解析]由题意|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a整理得|PF1|·|PF2|＝m－a，选A.7．方程x24－t＋y2t－2＝1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2t4；②若曲线C为双曲线，则t4或t2；③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3t4.以上命题正确的是()A．②③B．①④C．②④D．①②④[答案]C[解析]若C为圆，则4－t＝t－20，∴t＝3.当t＝3，C表示圆，∴③不正确．若C为椭圆，则4－t0，t－20，4－t≠t－2.∴2t4，且t≠3，故①不正确，故选C.8．设θ∈(34π，π)则关于x，y的方程x2cscθ－y2secθ＝1所表示的曲线是()A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．长轴在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆[答案]C[解析]方程即是x2sinθ＋y2－cosθ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sinθ0，cosθ0，且－cosθsinθ，故方程表示长轴在y轴上的椭圆，故答案为C.9．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为()A．1B.32C．2D．4[答案]B[解析]由已知，P点轨迹为以A，B为焦点，2a＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO|的最小值为32，故选B.10．设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1|·|PF2|的值等于()A．2B．22C．4D．8[答案]A[解析]∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→.又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.二、填空题11．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k的值为________．[答案]k＝－1[解析]方程为x21k－y28k＝1，∵焦点为(0,3)，∴k0且(－8k)＋(－1k)＝9，∴k＝－1.12．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是2，则a＋b＝________.[答案]12[解析]p(a，b)点到y＝x的距离d＝|a－b|2，∵P(a，b)在y＝x下方，∴ab∴a－b＝2，又a2－b2＝1，∴a＋b＝12.13．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]163[解析]如图所示，设圆心P(x0，y0)，则|x0|＝c＋a2＝4，代入x29－y216＝1，得y20＝16×79，∴|OP|＝x20＋y20＝163.14．双曲线x216－y29＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥F1F2，则点P到x轴的距离为______．[答案]94[解析]∵F1(－5,0)，PF1⊥F1F2.设P(－5，yP)∴2516－y2P9＝1，即y2P＝8116，∴|yP|＝94，∴点P到x轴的距离为94.三、解答题15．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．[解析]当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线．当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆．当k0时，方程y24＋x24k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．当0k1时，方程x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．当k1时，方程x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．16．在△ABC中，BC固定，A点为动点，设|BC|＝8，且|sinC－sinB|＝12sinA，求A点的轨迹方程．[解析]以BC所在直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－4,0)，C(4,0)．设A(x，y)，则由正弦定理知，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入|sinC－sinB|＝12sinA，得|c－b|＝12a＝4，且|BC|＝84，故由双曲线定义知，A点在以B，C为焦点的双曲线上，2a0＝4，∴a0＝2,2c0＝8，c0＝4，∴b20＝c20－a20＝16－4＝12，即点A的轨迹方程为x24－y212＝1(y≠0)．17．设双曲线x24－y29＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？[解析](1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1r2)如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4.两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，因为∠F1MF2＝90°，所以r21＋r22＝|F1F2|2＝(2c)2＝52，所以r1r2＝18，所以S△F1MF2＝9.(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos60°|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，得r1r2＝36，所以S△F1MF2＝12r1r2sin60°＝93.同理，当∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝33.18．如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100m，BP＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析]田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M是界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x2a2－y2b2＝1，其中a＝25，2c＝|AB|＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝507.∴c＝257，b2＝c2－a2＝3750.因此，双曲线方程为x2625－y23750＝1(25≤x≤35，y≥0)，即为所求界线的方程．