高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习2-3-3双曲线习题课

2.3.3双曲线习题课一、选择题1．直线y＝13(x－72)与双曲线x29－y2＝1，交点个数是()A．0B．1C．2D．4[答案]B[解析]∵直线与渐近线平行，∴有一个交点．2．已知双曲线x24＋y2m＝1，离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是()A．(－12,0)B．(－∞，0)C．(－3,0)D．(－60，－12)[答案]A[解析]显然m0，∴a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，∵e∈(1,2)，∴e2∈(1,4)，∴c2a2＝a2＋b2a2＝4－m4∈(1,4)，∴4－m∈(4,16)，∴m∈(－12,0)．3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形[答案]B[解析]由题意a2＋b2a＝mm2－b2，即m2＝a2＋b2，∴选B.4．若双曲线x29－y2m＝1的渐近线方程为y＝±53x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为()A.5B.14C．2D．25[答案]A[解析]∵a＝3，b＝m，∴m3＝53，∴m＝5，∴c＝14，即焦点为(±14，0)d＝|5·14＋0|9＋5＝5故选A.5．若双曲线C：x2－y2b2＝1(b0)的顶点到渐近线的距离为22，则双曲线的离心率e＝()A．2B.2C．3D.3[答案]B[解析]双曲线的顶点(1,0)渐近线y＝bx，则d＝|b×1|b2＋1＝22∴b＝1，∴c＝1＋1＝2，∴e＝ca＝2，故选B.6．设a1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2)B．(2，5)C．(2,5)D．(2，5)[答案]B[解析]e＝a2＋(a＋1)2a＝2a2＋2a＋1a2＝2＋2a＋1a2＝(1a＋1)2＋1.∵a1，∴01a1，∴1(1a＋1)24∴2(1a＋1)2＋15.即e∈(2，5)，故选B.7．(2010·辽宁，9)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12[答案]D[解析]如图，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，∴F点坐标为(a2＋b2，0)，B点坐标为(0，b)，渐近线方程为y＝±bax，∴kBF·ba＝－1，即－ba2＋b2·ba＝－1，∴aa2＋b2＝b2，∴a4＋a2b2－b4＝0，即b2a22－b2a2－1＝0，∴b2a2＝1＋52，e2＝c2a2＝1＋b2a2＝3＋52，∴e＝1＋52，故选D.8．若方程x2m－1＋y2m2－4＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A．1m2B．m2C．m－2D．－2m2[答案]C[解析]由已知m－10m2－40⇒m－2.故选C.9．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．9[答案]C[解析]∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴ba＝32，∵b＝3，∴a＝2.又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．10．已知双曲线x26－y23＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.365B.566C.65D.56[答案]C[解析]如图所示，由x26－y23＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±62，取M(－3，62)．直线MF2的方程为62x＋6y－362＝0，即x＋26y－3＝0.∴点F1到直线MF2的距离为d＝|－3－3|1＋24＝65.二、填空题11．(2010·福建文，13)若双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________．[答案]1[解析]本题主要考查双曲线的渐近线方程．双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±b2x，∴b2＝12，即b＝1.12．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______________．[答案]2x－y－15＝0[解析]设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x21－4y21＝4①x22－4y22＝4②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵P是线段AB的中点，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴y1－y2x1－x2＝x1＋x24(y1＋y2)＝2.∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.13．设双曲线x2－y33＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为π6的弦AB.则|AB|＝__________.[答案]3[解析]F1(－2,0)，F2(2,0)因此，直线AB的方程为y＝(x＋2)tanπ6，代入双曲线方程得8x2－4x－13＝0(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]12，由(*)知x1＋x2＝12，x1x2＝－138，代入上式，求得|AB|＝3.14．设中心在原点的双曲线与椭圆x22＋y2＝1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．[答案]2x2－2y2＝1[解析]由双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆方程为x22＋y2＝1.知c＝2－1＝1，e＝12＝22，又它们的离心率互为倒数，所以双曲线的离心率为2＝ca＝1a，所以a＝22，b2＝c2－a2＝1－12＝12，故双曲线的方程为2x2－2y2＝1.三、解答题15．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．[解析]∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，∴双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵点P(2，－1)在双曲线上，∴4a2－1b2＝1①.又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，∴k切＝2，即ba＝2，∴b＝2a②.解得①②得a2＝154，b2＝15，∴双曲线方程为4x215－y215＝1.16．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点．若AF→＝4FB→，求C的离心率．[解析]本题考查直线与双曲线的位置关系、平面向量在解析几何中的应用及运算能力．设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由y＝3(x－c)x2a2－y2b2＝1，得(b2－3a2)y2＋23b2cy＋3b4＝0，∵b2－3a2≠0，∴y1＋y2＝23b2c3a2－b2，y1y2＝3b4b2－3a2，由AF→＝4FB→得y1＝－4y2，∴－3y2＝23b2c3a2－b2，－4y22＝3b4b2－3a2，∴y2＝2b2c3(b2－3a2)代入－4y22＝3b4b2－3a2，得16c2＝27a2－9b2，又b2＝c2－a2，∴16c2＝27a2－9c2＋9a2，∴36a2＝25c2，∴e2＝3625，∴e＝65.[点评]解本题时，要合理选择消元，若消去y得到关于x的一元二次方程，计算量大，故合理选择消元是解答本题的关键．17．直线l在双曲线x23－y22＝1上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.[解析]设直线l的方程为y＝2x＋m，由y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由韦达定理，得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．∵|AB|＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16.∴3m2＝70，m＝±2103.18．(2008·上海)已知双曲线Cx24－y2＝1，P是C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．[解析](1)设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是|x1－2y1|5和|x1＋2y1|5.它们的乘积是|x1－2y1|5·|x1＋2y1|5＝|x21－4y21|5＝45.∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x24－1＝54x－1252＋45.∵|x|≥2，∴当x＝125时，|PA|2的最小值为45，即|PA|的最小值为255.