高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习3-1-3两个向量的数量积

3.1.3两个向量的数量积一、选择题1．若a，b均为非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]共线包括同向和反向，只有a、b同向时，才有a·b＝|a||b|成立．2．下列结论中正确的是()A．(a·b)·c＝(b·c)·aB．a·b＝－|a||b|，则a∥bC．a，b，c为非零向量，a·c＝b·c，则a∥bD．a·a＝b·b，则a＝b[答案]B[解析]a·b＝－|a||b|，说明a与b夹角为π，所以共线．3．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是()A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可能[答案]A[解析]∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直．4．下列结论正确的是()A．a·e＝acosa，eB．a⊥b⇔a·b＝0C．|a|2＝|a|·aD．(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3[答案]B5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么()A.AE→·BC→AE→·CD→B.AE→·BC→＝AE→·CD→C.AE→·BC→AE→·CD→D.AE→·BC→与AE→·CD→不能比较大小[答案]C6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|()A.7B.10C.13D．4[答案]C[解析]|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cosa，b＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，a，b＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝13.7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，则A′B→，B′C→＝()A．30°B．60°C．90°D．120°[答案]B[解析]A′B→·B′C→＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋c2＝c2＝1.∴cos〈AB→，B′C→〉＝A′B→·B′C→|A′B→||B′C→|＝12·2＝12，∴〈A′B→，B′C→〉＝π3.8．若|a|＝|b|＝4，a，b＝60°，则|a－b|等于()A．4B．8C．37D．13[答案]A[解析]|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2·|a|·|b|cosa，b＝42＋42－2×4×4cos60°＝42，∴|a－b|＝4.9．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，则下列结论中不成立的是()A．|AB→＋AC→＋AD→|＝|AB→＋AC→－AD→|B．|AB→＋AC→＋AD→|2＝|AB→|2＋|AC→|2＋|AD→|2C．(AB→＋AC→＋AD→)·BC→＝0D.AB→·CD→＝AC→·BD→＝AD→·BC→[答案]C[解析]因为AB、AC、AD两两垂直，则可得AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC，且AB→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，AC→·AD→＝0，AC→·BD→＝0，AD→·BC→＝0，所以得到A、B、D均正确．10．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于()A．2BA→B．2AD→·BD→C．2FG→·CA→D．2EF→·CB→[答案]B[解析]2BA→·AC→＝－a2,2AD→·BD→＝a2,2FG→·CA→＝－a2,2EF→·CA→＝－a2,2EF→·CB→＝－12a2.二、填空题11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是______________．[答案]26[解析]设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.|AC1→|2＝A1C1→·A1C1→＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24所以|AC1→|＝26.12．已知|a|＝22，|b|＝22，a·b＝－2，则a，b＝________.[答案]34π13．|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝b·c＝c·a＝0，则|a＋b＋c|＝________.[答案]1414．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°，则点C与D之间的距离为________．[答案]2[解析]∵AC⊥α，BD与α成30°角，∴AC与BD所成角为60°.又∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→，|CA→|＝|AB→|＝|BD→|＝1，〈CA→，AB→〉＝〈AB→，BD→〉＝90°，〈CA→，BD→〉＝120°，∴CD2→＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝3－1＝2.∴C，D两点间距离为2.三、解答题15．已知三棱锥O—ABC的各个侧面都是正三角形，且棱长为1，求：(1)OA→·OB→；(2)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)；(3)|OA→＋OB→＋OC→|.[解析]设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，CA→＝a－c，CB→＝b－c，(1)OA→·OB→＝|a||b|·cos60°＝12.(2)由(1)知，a·b＝a·c＝b·c＝12，则(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)＝(a＋b)·(a＋b－2c)＝a2＋b2＋2a·b－2a·c－2b·c＝1.(3)|OA→＋OB→＋OC→|＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6.16．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，M1分别是DC，B1C1的中点，求MM1→·AB→.[解析]选AB→，AD→，AA1→为基向量，且AB→，AD→，AA1→两两互相垂直，|AB→|＝|AD→|＝|AA1→|＝1，则MM1→＝MC→＋CC1→＋C1M1→＝12AB→＋AA1→－12AD→.∴MM1→·AB→＝12AB2→＋AA1→·AB→－12AD→·AB→＝12AB2→＝12.17．如图，在正四面体OABC中，G是△ABC的中心，D是OG中心，M是OC中点．求证：DA→⊥CB→；[解析]令OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，由于是正四面体，∴a·b＝b·c＝c·a＝|a|·|b|cosa，b＝12，(设|a|＝|b|＝|c|＝1)如图AD→＝12(AO→＋AG→)＝12－a＋23AB→＋AC→2＝－12a＋16[(b－a)＋(c－a)]＝－56a＋16b＋16c，CB→＝b－c，∴AD→·CB→＝－56a＋16b＋16c(b－c)＝－16(－5a·b＋5a·c＋b2－b·c＋c·b－c2)＝0，∴AD→⊥CB→.18．平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长都为2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E是DC的中点，F是B1C的中点．(1)证明：向量BD→，BB1→，EF→共面；(2)求|D1F→|.[解析](1)设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则BB1→＝c，BD→＝b－a，EF→＝AF→－AE→＝AB→＋12BC1→－(AD→＋12DC→)＝a＋12(b＋c)－(b＋12a)＝12[(a－b)＋c]＝12BB1→－12BD→，由共面向量定理知，向量BD→，BB1→，EF→共面．(2)由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，a，b＝b，c＝a，c＝60°.又D1F→＝AF→－AD1→＝a＋12(b＋c)－(b＋c)＝a－12b－12c，|D1F→|2＝(a－12b－12c)·(a－12b－12c)＝a2＋14b2＋14c2－a·b－a·c＋12b·c＝4＋1＋1－2－2＋1＝3.∴|D1F→|＝3.