高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习3-1-4空间向量的直角坐标运算

3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC→＝25AB→，则C的坐标是()A．(－65，－45，－85)B．(65，－45，－85)C．(－65，－45，85)D．(65，45，85)[答案]A[解析]设C(a，b，c)，∵AB→＝(－3，－2，－4)∴25(－3，－2，－4)＝(a，b，c)，∴(a，b，c)＝－65，－45，－85.故选A.2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为()A．(1,3,2)B．(－1，－3,2)C．(－1,3，－2)D．(1，－3，－2)[答案]C[解析](－1,3，－2)＝－a，与a共线．3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦为89，则λ＝()A．2B．－2C．－2或255D．2或－255[答案]C[解析]a·b＝2－λ＋4＝6－λ|a|＝5＋λ2，|b|＝9.cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝6－λ5＋λ2·9＝8955λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝255.4．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为()A.10B．－10C．25D．±10[答案]D[解析]CB→＝(－6,1,2k)，CA→＝(－3,2，－k)则CB→·CA→＝(－6)×(－3)＋2＋2k(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±10.5．已知A(3,5,2)，B(－1,2,1)，把AB→按向量(2,1,1)平移后所得向量是()A．(－4，－3,0)B．(－4，－3，－1)C．(－2，－1,0)D．(－2，－2,0)[答案]B[解析]AB→＝(－4，－3，－1)，而平移后的向量与原向量相等，∴AB→平移后仍为(－4，－3，－1)．故选B.6．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a1b1＝a2b2＝a3b3是a∥b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]当a1b1＝a2b2＝a3b3时，a∥b，但是a∥b，不一定a1b1＝a2b2＝a3b3成立，如a＝(1,0,1)，b＝(2,0,2)．7．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45[答案]D[解析]建立如图所示坐标系由题意设A(1,0,0)，B(1,1,0)．D1(0,0,2)，A1(1,0,2)．由AD1→＝(－1,0,2)，A1B→＝(0,1，－2)．∴cos〈AB1→，AD1→〉＝－45·5＝－45，∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45，故选D.8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.15C.35D.75[答案]D[解析]∵ka＋b＝(k－1，k,2)2a－b＝(3,2，－2)∴(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，∴k＝75.9．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB→|的取值范围是()A．[0,5]B．[1,5]C．(1,5)D．[1,25][答案]B[解析]|AB→|＝(3cosα－2cosθ)2＋(3sinα－2sinθ)2＝13－12cos(α－θ)∈[1,5]．10．已知O为坐标原点，OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为()A.12，34，13B.12，32，34C.43，43，83D.43，43，73[答案]C[解析]设Q(x，y，z)，因Q在OP→上，故有OQ→∥OP→，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA→·QB→＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA→·QB→取最小值．二、填空题11．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，a，b＝120°，则k＝________.[答案]－39[解析]∵2k＝13·k2＋9×－12∴16k2＝13k2＋13×9∴k2＝39，∴k＝±39.∵k0，∴k＝－39.12．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA→⊥AB→，PA→⊥AC→，则P点的坐标为______________．[答案](－1,0,2)[解析]PA→＝(－x,1，－z)，AB→＝(－1，－1，－1)，AC→＝(2,0,1)，∴x－1＋z＝0，－2x－z＝0，∴x＝－1z＝2，∴P(－1,0,2)．13．已知A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，AP→＝12(AB→－AC→)，则点P的坐标是________．[答案](5，12，0)[解析]∵CB→＝(6,3，－4)，设P(a，b，c)则(a－2，b＋1，c－2)＝(3，32，－2)，∴a＝5，b＝12，c＝0，∴P(5，12，0)．14．已知向量a＝(2，－1,2)，则与a共线且a·x＝－18的向量x＝________.[答案]x＝(－4,2，－4)[解析]设x＝(x，y，z)，又a·x＝－18，∴2x－y＋2z＝－18①又∵a∥x，∴x＝2λ，y＝－λ，z＝2λ②由①②知：x＝－4，y＝2，z＝－4，∴x＝(－4,2，－4)．三、解答题15．已知A、B、C三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求满足下列条件的P点坐标．(1)OP→＝12(AB→－AC→)；(2)AP→＝12(AB→－AC→)．[解析]AB→＝(2,6，－3)，AC→＝(－4,3,1)．(1)OP→＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则P点坐标为(3，32，－2)．(2)设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．又∵12(AB→－AC→)＝AP→＝(3，32，－2)，∴x＝5，y＝12，z＝0.故P点坐标为(5，12，0)．16．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)设|c|＝3，c∥BC→，求c.(2)求a与b的夹角．(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.[解析](1)∵c∥BC→，BC→＝(－2，－1,2)．设c＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c|＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3，∴λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)a＝AB→＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，b＝AC→＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．∴cosa，b＝a·b|a|·|b|＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010.∴a和b的夹角为a，b＝π－arccos1010.(3)ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又(ka＋b)⊥(ka－2b)，则k(a＋b)·(ka－2b)＝0，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k－2＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52.17．正四棱柱AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系．(1)求AA1的长；(2)求BN→，AD1→；(3)对于n个向量a1，a2，…，an，如果存在不全为零的n个实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0成立，则这n个向量a1，a2，…，an叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断AM→，BN→，CD→是否线性相关，并说明理由．[解析](1)以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AA1的长为a，则B(4,4,0)，N(2,2，a)，BN→＝(－2，－2，a)，A(4,0,0)，M(2,4，a2)，AM→＝(－2,4，a2)，由BN→⊥AM→得BN→·AM→＝0，即a＝22.(2)BN→＝(－2，－2,22)，AD1→＝(－4,0,22)，cos〈BN→，AD1→〉＝BN→·AD1→|BN→||AD1→|＝63，〈BN→，AD1→〉＝arccos63.(3)由AM→＝(－2,4，2)，BN→＝(－2，－2,22)，CD→＝(0，－4,0)，λ1(－2,4，2)＋λ2(－2，－2,22)＋λ3(0，－4,0)＝(0,0,0)得λ1＝λ2＝λ3＝0，则AM→，BN→，CD→线性无关．18．如图所示，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD＝a，点M，N分别是BD，AC的中点．求证：MN⊥BD.[证明]由点M，N分别为BD，AC的中点可知MN→＝12(MA→＋MC→)＝12(MB→＋BA→＋MD→＋DC→)，∵MB→＋MD→＝0，∴MN→·BD→＝12(BA→＋DC→)·BD→＝12(BA→·BD→＋DC→·BD→)，∵BA→⊥BD→，DC→⊥BD→，∴BA→·BD→＝0，DC→·BD→＝0.∴MN→·BD→＝0，∴MN⊥BD.