高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习3-2-2平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、选择题1．下列命题中正确的是()A．如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直B．如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直C．如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线D．如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影[答案]D[解析]由三垂线定理知D成立．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1的一个法向量为()A.BD1→B.DB→C.BA1→D.BB1→[答案]A3．点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，则平面ABC的一个法向量为()A．(bc，ac，ab)B．(ac，ab，bc)C．(bc，ab，ac)D．(ab，ac，bc)[答案]A[解析]设法向量为n＝(x，y，z)，则AB·n＝0，AC→·n＝0，则－ax＋by＝0－ax＋cz＝0∴n＝(bc，ac，ab)．故选A.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A[答案]B[解析]直线CE在平面AC内的射影为AC，又AC⊥BD，∴BD⊥CE，故选B.5．正方体AC1中，E，F分别是AB，CD的中点，则下列直线中不互相垂直的是()A．B1C与C1D1B．D1B与B1CC．D1B与EFD．A1B与B1C1[答案]C[解析]D1B与EF所成角等于∠D1BC，其余弦值为33，故选C.6．若平面α、β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案]C[解析]∵u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，∴u与v不平行且u与v不垂直，故选C.7．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行B．垂直C．相交D．不能确定[答案]A[解析]由v1∥v2故可判定α∥β.8．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2[答案]C[解析]∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k，∴k＝4，故选C.9．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交[答案]B[解析]∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.故选B.10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对[答案]B[解析]以D为原点，DA→、DC→，DD1→分别为x，y，z建立空间直角坐标系求面AED的法向量n1与面A1FD1的法向量n2.∵n1·n2＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.二、填空题11．若直线l与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1，0,2)，则直线l与β的位置关系是________．[答案]l⊥β[解析]∵a∥b，∴l⊥β.12．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，12，2，则m＝________.[答案]－8[解析]设a＝(2，m,1)，b＝(1，12，2)．∵l∥α，∴a⊥b，∴2＋12m＋2＝0，∴m＝－8.13．已知正四棱锥(如图所示)，在向量PA→－PB→＋PC→－PD→，PA→＋PC→，PB→＋PD→，PA→＋PB→＋PC→＋PD→中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是________．[答案]PA→－PB→＋PC→－PD→[解析]∵PA→－PB→＋PC→－PD→＝BA→＋DC→＝0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与PO→共线．而PO⊥平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量．14．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．[答案]2[解析]以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，PQ→＝(1，x，－z)，QD→＝(－1，a－x,0)．由PQ→·QD→＝0，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，Q只有一个．三、解答题15．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2)，B(4,2,0)，C(2,4,0)，求平面ABC的单位法向量．[解析]AB→＝(4,2，－2)，AC→＝(2,4，－2)设n＝(x，y，z)是平面ABC的单位法向量，则有|n|2＝1，n·AB→＝0，n·AC→＝0，⇒x2＋y2＋z2＝1，2x＋y－z＝0，x＋2y－z＝0.取z0，得x＝y＝111，z＝311.∴n＝111(1,1,3)．16．如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点．求证：A1P⊥平面DMN.[证明]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)．∴向量A1P→＝(0,1,0)－(2,0,2)＝(－2,1，－2)，DM→＝(0,2,1)－(0,0,0)＝(0,2,1)，DN→＝(1,2,0)．∴A1P→·DM→＝(－2,1，－2)·(0,2,1)＝(－2)×0＋1×2＋(－2)×1＝0.A1P→·DN→＝(－2,1，－2)·(1,2,0)＝(－2)×1＋1×2＋(－2)×0＝0.∴A1P→⊥DM→，A1P→⊥DN→，即A1P⊥DM，A1P⊥DN，又DM∩DN＝D，∴A1P⊥平面DMN.17．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC?[解析]以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P(0,0，z)，AP→＝(－a,0，z)，AC→＝(－a，a,0)，DB1→＝(a，a，a)，∴B1D⊥面PAC，∴DB1→·AP→＝0，DB1→·AC→＝0.∴－a2＋az＝0.∴z＝a，即点P与D1重合．∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC.18．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M、N、Q分别是PC、AB、CD的中点，(1)求证：MN∥PAD；(2)求证：平面QMN∥平面PAD；(3)求证：MN⊥平面PCD.[解析](1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)∵M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，∴Mb2，d2，d2，Nb2，0，0，Qb2，d，0∴MN→＝0，－d2，－d2，∵面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)∴MN→·m＝0，即MN→⊥m，∴MN不在面PAD内，∴MN∥面PAD，(2)QN→＝(0，－d,0)，QN→⊥m，又QN不在面PAD内，又QN∥面PAD.又∵MN∩QN＝N，∴面MNQ∥平面PAD.(3)PD→＝(0，d，－d)，DC→＝(b,0,0)，∴MN→·PD→＝－d2d＋－d2(－d)＝0，MN→·DC→＝0，∴MN→⊥PD→，MN→⊥DC，又PD∩DC＝D，∴MN→⊥平面PCD.