时钟夹角公式及其应用

时钟夹角公式及其应用湖北省来凤县接龙中学445700胡永安邮箱[e-mail]我们知道，时钟表面的时针与分针各自绕着时钟的中心匀速转动，在不同的时刻，两针之间形成不同的角度。时钟夹角问题是一种特殊的行程问题，解题难度较大。如果能推导出时钟夹角公式，那么我们就能利用该夹角公式，可以很快地、程序化地解决这类问题。我们先来推导时钟在任意时刻两针夹角公式。设时钟所处的时刻是m时x分（m是从0到11的整数，600x）。先分析时针所经过的角度情况：时针每小时经过30，m小时共经过m30；时针每分钟经过5.0，x分钟共经过x5.0。故知从0时0分到m时x分这一段时间内，时针共经过)5.030(xm。再分析分针所经过的角度情况：分针每分钟经过6，x分钟共经过x6。故知从0分到x分这一段时间内，分针共经过x6。我们由行程问题有关知识可知，当时钟所处的时刻是m时x分两针的夹角，相当于时针从0时0分到m时x分这一段时间所经过的角度与分针从0分到x分这一段时间所经过的角度之差，由于我们不能确定时针和分针谁经过的角度谁多谁少（即不能确定两针的前后位置），所以应加上绝对值符号，为oxmxxm5.5306)5.030(另外，我们在实际生活中对于两针的夹角是取小于或等于平角的角，这样我们就得到了时钟在m时x分这一时刻两针夹角公式：若1805.530xm，则两针夹角为xm5.530………………………………①若1805.530xm，则两针夹角为xm5.530360………………………②下面举例谈谈时钟夹角公式的应用。一、已知时刻，利用夹角公式计算两针的夹角例1求7时8分两针夹角。解：16685.5730例2求2时52分两针夹角。解：∵180226525.5230∴两针夹角为：134226360二、已知两针的夹角，利用夹角公式列方程求时刻例3时钟在4时与5时之间的什么时刻，两针夹角为45？解：设在4时x分两针夹角为45。由公式①，得方程455.5430x∴455.5120x∴117131x(分)302x（分）答：在4时11713分或4时30分，两针夹角为45。例4时钟在4时与5时之间的什么时刻，两针夹角为160？解：设在4时x分两针夹角为160。下面分两种情况讨论：（1）由公式①，得方程1605.5430x∴1605.5120x∴11371x（负值，舍去）1110502x（分）；（2）由公式②，得方程1605.5430360x∴2005.5120x∴2005.5120x∴116141x（负值，舍去）112582x（分）答：在4时111050分或4时11258分，两针夹角为160。例5时针在4时与5时之间的什么时刻，两针夹角为140？解：设在4时x分两针夹角为140。下面分两种情况讨论：（1）由公式①，得方程1405.5430x∴1405.5120x∴11731x（负值，舍去）113472x（分）（2）由公式②，得方程1405.5430360x∴2205.5120x∴2205.5120x∴112181x（负值，舍去）119612x（超过60，舍去）答：在4时11347分，两针夹角为140。特别指出，如果时钟在某相邻两个整点时刻（如4时与5时）之间的某时刻两时针的夹角已知，我们要求该时刻，由于这样的时刻最多有两个（以时针为准，分针有可能在前也有可能在后），若用公式①已求出满足条件的两个时刻，那么我们就不必考虑用公式②列方程；若用公式①只求出一个时刻，那么我们还要用公式②列方程，看看还有没有另外的满足条件的时刻。