高二数学(人教B版)选修2-1单元综合能力测试题2

综合能力测试题二时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么在命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素中，真命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]若命题P错误，则¬P正确，命题②④正确，故选B.2．设直线l1、l2的方向向量分别为a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则直线l1、l2的夹角是()A．arccos1515B．π－arcsin21015C．arcsin21015D．arccos(－1515)[答案]A[解析]cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝4－823×25＝－1515，∴l1，l2夹角为π－arccos(－1515)即arccos1515为l1，l2的夹角．3．在椭圆x240＋y220＝1上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有()A．2个B．4个C．6个D．8个[答案]C[解析]以F1或F2为直角顶点时，符合条件的点P有4个；以P为直角顶点时，由于e＝22，符合条件的点P有2个，故符合条件的点P共有6个．4．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于()A.534B.532C.532D.132[答案]C[解析]∵A(3,3,1)，B(1,0,5)，∴中点坐标为M(2，32，3)．∴|CM|＝532，∴选C.5．(2010·浙江文，6)设0xπ2，则“xsin2x1”是“xsinx1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]本题考查了充要条件及基本不等式．∵0xπ2，∴0sinx1∴0sin2xsinx1∴xsin2xxsinx则x·sinx1⇒x·sin2x1成立，故选B.6．已知A(1,2,1)，B(－1,3,4)，P为AB的中点，则|AP→|等于()A．52B.142C.72D.14[答案]B[解析]P点坐标为(0，52，52)，由距离公式得|AP→|＝142.7．已知椭圆C的方程为x216＋y2m2＝1(m0)，如果直线y＝22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好为椭圆的右焦点F，则m的值为()A．1B.2C．2D．22[答案]D[解析]F点的坐标为(16－m2，0)，∴由16－m216＋(2216－m2)m2＝1得m4＋8m2－128＝0，∴m2＝8，∴m＝22.故选D.8．二面角α－l－β为120°，A，B是棱上两点，AC，BD分别在α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD长为()A.2B.3C．2D.5[答案]C[解析]∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→，∴(CD→)2＝(CA→)2＋(AB→)2＋(BD→)2＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2AB→·BD→.又∵CA→，AB→＝90°，CA→，BD→＝60°，AB→，BD→＝90°，∴(CD→)2＝4，∴|CD→|＝2.9．设θ∈(π，5π4)，则关于x，y的方程x2sinθ－y2cosθ＝1所表示的曲线为()A．实轴在y轴上的双曲线B．实轴在x轴上的双曲线C．长轴在y轴上的椭圆D．长轴在x轴上的椭圆[答案]A[解析]∵θ∈(π，5π4)，∴sinθ0，－cosθ0∴原方程可化为x2sinθ＋y2－cosθ＝1，即x2sinθ＋y2|cosθ|＝1它表示实轴在y轴上的双曲线．故选A.10．设A1，A2是椭圆x29＋y24＝1的长轴两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.x29＋y24＝1B.y29＋x24＝1C.x29－y24＝1D.y29－x24＝1[答案]C[解析]设交点P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共线，∴y－y0x－x0＝yx＋3.∵A2，P2，P共线，∴y＋y0x－x0＝yx－3.解得x0＝9x，y0＝3yx，代入x209＋y204＝1，化简得x29－y24＝1.11．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F1，点P在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF1的斜率为()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，0)∪(1＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)[答案]B[解析]当直线的斜率k＝1时，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线右支上半支相交，和左支下半支无交点，排除C，D.当直线倾斜角为钝角时，－∞k0，和左支下半支相交．12．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°[答案]B[解析]设AB→＝a，BC→＝b，BB1→＝c，且令BB1＝1，则〈a，b〉＝120°，AB1→＝a＋c，BC1→＝b＋c，AB1→·BC1→＝(a＋c)(b＋c)＝a·b＋a·c＋b·c＋c2＝2×2×cos120°＋1＝0，∴应选B.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________．[答案]π3[解析]因为底面对角线长为26，所以底面边长为23，从而利用体积得四棱锥的高为3，所以二面角的正切值为3，所以侧面与底面所成二面角的大小为π3，本题也可用向量知识求解．14．(2010·天津文，13)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．[答案]x24－y212＝1[解析]本题考查了双曲线的标准方程与几何性质．由抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4,0)，得c＝4.又∵双曲线的渐近线方程为y＝±3x得ba＝3⇒b＝3a，又∵c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝23.15．设P是曲线y2＝4(x－1)上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是________．[答案]5[解析]如右图，由定义可知，点P到y轴的距离等于点P到F(2,0)的距离，即点P到点A与到y轴的距离之和等于|PA|＋|PF|，又|PA|＋|PF|≥|AF|，即A，P，F三点共线时最小，即最小值为|AF|＝(2－0)2＋(0－1)2＝5.16．已知A(－12，0)，B是圆F：(x－12)2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．[答案]x2＋43y2＝1[解析]由已知，|AP|＋|PF|＝|BF|＝2，由椭圆定义知，P点轨迹为椭圆．设为x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)则a＝1，c＝12，∴b＝32，故椭圆为x2＋4y23＝1.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．[解析]设△ABC重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)由重心坐标公式得x＝－2＋0＋x13，y＝0－2＋y13，∴x1＝3x＋2，y1＝3y＋2.代入y1＝3x21－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1.∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}若命题A∩B≠∅为真命题，求实数m的取值范围．[解析]设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1或m≥32}，若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1、x2均为非负，则m∈Ux1＋x2＝4m≥0x1·x2＝2m＋6≥0⇒m≥32，∵{m|m≥32}关于U的补集为{m|m≤－1}，∴实数m的取值范围为{m|m≤－1}．19．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[解析]如图所示，建立空间直角坐标系C－xyz.(1)∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，∠PBC＝30°.∵|PC|＝2，∴|BC|＝23，|PB|＝4，得D(0,1,0)、B(23，0,0，)、A(23，4,0)、P(0,0,2)，又|PB|＝4|PM|，∴|PM|＝1，M(32，0，32)，∴CM→＝(32，0，32)，DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，设N为PA上一点，则存在x，y使DN→＝xDP→＋yDA→(其中x，y∈R)，则DN→＝x(0，－1,2)＋y(23，3,0)＝(23y,3y－x,2x)，由N在PA上得x＋y＝1①又23y32＝2x32②①，②联立解得x＝34，y＝14，此时CM→，DN→共线．∴CM→，DP→，DA→共面．∵C∉平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)作BE⊥PA于E，|PB|＝|AB|＝4，∴E为PA的中点，∴E(3，2,1)，∴BE→＝(－3，2,1)．∵BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，BE→·DP→＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0，∴BE⊥DA，又BE⊥DP，∴BE⊥平面PAD，由于BE⊂平面PAB，则平面PAB⊥平面PAD.20．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p0)上有两动点A，B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．(1)求证线段AB的垂直平分线经过定点Q(x0＋p,0)；(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O是坐标原点)，求此抛物线的方程．[解析](1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，∴2|MF|＝|AF|＋|BF|，∴2(x0＋p2)＝x1＋p2＋x2＋p2，即2x0＝x1＋x2，线段AB的垂直平分线的方程为y－y1＋y22＝－y1＋y22p(x－x0)，即y＝－y1＋y22p(x－x0－p)．故线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0)．(2)解：由|OQ|＝6，得x0＋p＝6，即x0＝6－p.又|MF|＝4，∴x1＋p2＋x2＋p2＝2|MF|＝8，∴x1＋x2＝8－p，∴8－p＝2(6－p)，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝8x.21．(本小题满分12分)如图所示，点A、B分别为椭圆x236＋y220＝1长轴的左右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．[解析](1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．由已知得x236＋y220＝1(x＋6)(x－4)＋y2＝0，则：2x2＋9y－18＝0得x＝23或x＝－6，由于y0，只能x＝23，于是y＝523，所以点P的坐标是(32，523)．(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是|m＋6|2，于是|m＋6|2＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49(x－92)2＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝92时d取最小值15.22．(