高二数学§4.1.2数学归纳法证明不等式学案新人教A版选修4-5

-1-§4.1.2数学归纳法证明不等式(2)☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.会运用数学归纳法证明不等式奎屯王新敞新疆重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.☆数学归纳法的应用：例1.求证：23mem，其中1m，且mN．例2已知数列{}na的各项为正，且111,(4),2nnnaaaanN.（1）证明12,nnaanN;（2）求数列{}na的通项公式na.-2-例3(06湖南）已知函数()sinfxxx,数列{}na满足:1101,(),1,2,3,,nnaafan证明:(ⅰ)101nnaa;(ⅱ)3116nnaa.例4（09山东）等比数列{na}的前n项和为nS,已知对任意的nN,点(,)nnS均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记22(log1)()nnbanNw.w.w.k.s.5.u.c.o.m证明：对任意的nN，不等式1212111·······1nnbbbnbbb成立-3-选修4-5练习§4.1.2数学归纳法证明不等式（2）姓名1、正数a、b、c成等差数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.2、正数a、b、c成等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.3、若n为大于1的自然数，求证：1111312224nnn.4、（05辽宁）已知函数3()(1)1xfxxx,设数列{}na满足111,()nnaafa，{}nb满足*12|3|,()nnnnbaSbbbnN（Ⅰ）用数学归纳法证明1(31)2nnnb；（Ⅱ）证明23.3nS.-4-5、（05湖北）已知不等式nnn其中],[log21131212为大于2的整数，][log2n表示不超过n2log的最大整数.设数列}{na的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111nannaabbannn证明:,5,4,3,][log222nnbban6、(09广东）已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn．从点(1,0)P向曲线nC引斜率(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnPxy．（1）求数列{}{}nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy.-5-参考答案:1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1.求证：23mem，其中1m，且mN．分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明．（1）当m=2时，44232e，不等式成立．（2）假设*(2,)mkkkN时，有23kek，则2(1)22236kkeeekek，∵2k，∴63(1)330kkk，即63(1)kk．从而2(1)63(1)kekk，即1mk时，亦有23mem．由（1）和（2）知，对1,mmN都成立．证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．220122223(11)332(21)123(1211)21230mmmmmemmCCCmmmmmmmmmm∴当1m，且mN时，23mem．例2（2005年江西第21题第（1）小题，本小题满分12分）已知数列{}na,:的各项都是正数且满足0111,(4),.2nnnaaaanN（1）证明;,21Nnaann（2）求数列}{na的通项公式an.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一用数学归纳法证明：-6-1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴210aa，命题正确.2°假设n=k时有.21kkaa则111111,(4)(4)22kkkkkknkaaaaaa时11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而1110,40,0.kkkkkkaaaaaa又2111(4)[4(2)]2.22kkkkaaaa∴1kn时命题也正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴2010aa；2°假设n=k时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当n=k+1时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有．（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaa2,nnba令则21222221222121111111()()()222222nnnnnnnbbbbb又bn=－1，所以211(),2nnb21122()2nnnab即．本题也可先求出第（2）问，即数列}{na的通项公式2112()2nna，然后利用函数211()2()2xfx的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．-7-例3（06年湖南卷.理.19本小题满分14分）已知函数()sinfxxx,数列{na}满足:1101,(),1,2,3,.nnaafan证明:(ⅰ)101nnaa;(ⅱ)3116nnaa.证明:（I）．先用数学归纳法证明01na，ｎ＝1,2,3,…(i).当n=1时,由已知显然结论成立.(ii).假设当n=k时结论成立,即01ka.因为0x1时'()1cos0fxx,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而1(0)()(1),01sin11kkffafa即.故n=k+1时,结论成立.由(i)、(ii)可知，01na对一切正整数都成立.又因为01na时，1sinsin0nnnnnnaaaaaa，所以1nnaa，综上所述101nnaa．（II）．设函数31()sin6gxxxx，01x．由（I）知，当01x时，sinxx，从而222'22()cos12sin2()0.22222xxxxxgxx所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当01x时，g(x)0成立.于是31()0,sin06nnnngaaaa即．故3116nnaa．点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.需要灵活运用各分支的数学知识.例4解(1):因为对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数的图像上.所以得nnSbr,当1n时,11aSbr,当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为{na}为等比数列,所以1r,公比为b,1(1)nnabb-8-（2）当b=2时，11(1)2nnnabb,1222(log1)2(log21)2nnnban则1212nnbnbn,所以121211135721·······2462nnbbbnbbbnw.w.w.k.s.5.u.c.o.m下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462nnbbbnnbbbn成立.①当1n时,左边=32,右边=2,因为322,所以不等式成立.②假设当nk时不等式成立,即121211135721·······12462kkbbbkkbbbk成立.则当1nk时,左边=11212111113572123·······246222kkkkbbbbkkbbbbkk2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk所以当1nk时,不等式也成立.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.练习:1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.2.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=bq,c=bq＞0且q≠1)∴an+cn=nnbq+bnqn=bn(1nq+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想2nnac＞(2ac)n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明：-9-①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴222()22acac②设n=k时成立，即(),22kkkacac则当n=k+1时，11124kkac(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞14(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=14(ak+ck)(a+c)＞(2ac)k·(2ac)=(2ac)k+1根据①、②可知不等式对n＞1,n∈N*都成立．3、若n为大于1的自然数，求证：2413212111nnn.证明：(1)当n=2时，2413127221121(2)假设当n=k时成立，即2413212111kkk2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn时则当所以：对于n∈N*，且n1时，有2413212111nnn4、（05年辽宁卷.19本小题满分12分）已知函数3()(1)1xfxxx设数列{}na满足111,()nnaafa，{}nb满足*12|3|,()nnnnbaSbbbnN（Ⅰ）用数学归