高二数学双曲线及其标准方程式教案

高二数学双曲线及其标准方程式教案课题：双曲线及其标准方程式地点：微机室辅助工具：微机（附软盘）教学目的：1能根据条件利用工具会画双曲线2常握双曲线定义及标准方程3利用定义会求双曲线的方程4利用标准方程的形式会求双曲线的方程5提高运算能力重点：双曲线的定义和及其标准方程难点：标准方程中a与b的判断和换元法教学过程：（详见于课件）一.回顾与引入主题椭圆定义是与两定点的距离的和为常数的点轨迹是椭圆,那么与两定点距离的差非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢?二.实物演示与电脑演示工具:图钉,笔,拉链.方法:将拉链拉开一部分,在拉开的两边上各选取一点,分别固定在1F,2F上,F到2F的长为2a(a0).把笔尖放在M处,,随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖就画出一条曲线（先用模型演示，后用电脑演示）。问：这条曲线是满足什么条件的点的集合。答:aMFMFMP221如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得差等于2a，就得到另一条曲线（电脑演示），这条曲线是满足下例条件的点的集合，即aMFMFMP212。名词：这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。（此时板书课题）上述演示中有几个关键的地方：1、21MFMF=常数（=2a0）2、21FF=常数（=2a0）3、ac此时M的轨迹是双曲线问：若a=c或ac时，则M的轨迹又是什么？请思考（先电脑演示后回答，再看结果）三．双曲线定义(电脑展示)为了给出双曲线定义，请再思考：1、1MF与2MF哪个大？2、点M与F1、F2点的距离之差应怎么表示？3、点M与F1、F2点的距离之差与21FF的大小关系怎样？回答后，电脑展示结果。通过上述讨论得到双曲线定义：定义(电脑展示和板书)把平面内与两个定点21,FF的距离之差的绝对值是常数2a(小于21FF)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。四．求标准方程以过两定点21,FF的直线为X轴，以线段21FF的平分线为Y轴，建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为M（x,y），21FF=2c,并设),0,(1cF).0,(2cF根据aMFMFMP221，得：aycxycx2)()(2222（板书此处化简的过程）化简方程，得：22222222)()(aacyaxac由双曲线定义可知，2c2a，即ca，所以22ac0。令222bac，其中b0，代入上式，得12222byax(0,0ba)（板书）这个方程叫做双曲线的标准方程。它的特点是焦点在X轴上，焦点是)0,(1cF，)0,(2cF，这里222bac。想一想：焦点在Y轴上，标准方程又怎样吗？（电脑演示）归纳：（方程与图形都发生变化）（师生共同完成）焦点是),0((1cF、),0(2cF，a、b的意义同上，那么只要将原方程的x、y互换，就可以得到它的方程12222bxay(0,0ba)（板书）这个也是双曲线的标准方程。小结：（师生共同完成）电脑展示结果。练习：(电脑展示)1.已知：116922yx求：a=_,b=_,c=_.2.已知：12514422xy求：a=_,b=_,c=_.五．例题(电脑展示)例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(),0,5(21FF，双曲线上一点P到21,FF的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在X轴上，所以设它的方程为12222byax(a0,b0)2a=6,2c=10,a=3,c=5，b=4所以所求双曲线的标准方程为116922yx注：此题用双曲线的定义和标准方程的特征来解的，也可以利用轨迹思想和两点间的距离公式来解，但较繁。练习：(电脑展示)例1’已知三角形ABC的顶点坐标为B（O，-5），C（0，5）且//AB/-/AC//=6，求动点A的轨道方程。例2.已知双曲线的焦点在Y轴上，并且双曲线上两点的21,PP坐标分别为),24,3()5,49(,求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在Y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为12222bxay(a0,b0)因为点21,PP在双曲线上，所以点21,PP的坐标适合上面方程,将),24,3()5,49(分别代入其中，得方程组13)24(2222ba1)49(25222ba令221,1bnam,则方程组化为1932nm1168125nm解这个方程组，得161m91n即.9,1622ba所以所求标准方程为191622xy。注：本题解题方法是待定系数法，化简是用了换元法。六.练习(电脑展示)1、求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)、a=4,b=3,焦点在x轴上；(2)、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5)；2、填空：已知方程11222mymx表示双曲线，则的取值范围是___________.七.小结：(电脑展示)本节课主要掌握：概念：双曲线定义，焦点，焦距，长轴，短轴。公式：标准方程（两种形式）。几何含义：a,b,c.绘图方式：拉链。解题方法：定义法，待定系法，换元法。六、板书设计8.3双曲线及其标准方程（一）（一）复习提问（二）演示（三）双曲线的标准方程定义（四）标准方程的推导练习（五）例题例1例2七、教学后记