高二数学双曲线知识点及高考例题

高二数学双曲线知识点及高考例题1.双曲线第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。2.双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。3.双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上的：xaybab2222100()，（2）焦点在y轴上的：yaxbab2222100()，（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。注：c2＝a2＋b24.双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222xxaybab()yxF1F2A2A1O1范围：，或xaxa2对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。3顶点：A1（-a，0），A2（a，0）线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。41离心率：ecae()e越大，双曲线的开口就越开阔。5渐近线：ybax=62准线方程：xac5．若双曲线的渐近线方程为：xaby则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222byax【典型例题】例1.选择题。121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）xmymmAmBmm..2121或CmmDmR..21且2022.abaxbyc时，方程表示双曲线的是（）A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件322.sinsincos设是第二象限角，方程表示的曲线是（）xyA.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，xyPFFFPF则△F1PF2的面积为（）ABCD....9633393例2.已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程PP12342945例3.已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinsinsinBCA35，求顶点A的轨迹方程。例4.（1）求与椭圆xy2294152有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。（2）求与双曲线xyM22941921有共同渐近线，且经过点，的双曲线的标准方程。例5.已知双曲线方程xy22421（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；（2）是否存在直线l，使点N112，为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。例六：1.若xkyk22211表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（）A.1，B.（0，2）C.2，D.（1，2）2.双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（）A.2或233B.2C.233D.33.圆C1：xy3122和圆C2：xy3922，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。[例题答案]例一：解：1.把所给方程与双曲线的标准方程对照易知：2+m与m+1应同号即可。20102010mmmm或mmmm2121或mm12或2022.若表示双曲线，则一定有；axbycab若当时，表示双曲线当时，表示直线abcc000∴选A300.sincos是第二象限角，，sincos0原方程化为：xy221sincossincos易知：x2的系数为负，y2的系数为正∴方程表示焦点在y轴上的双曲线4.由双曲线方程知：a＝4，b＝3，c＝5设，，则，PFmPFnmnFFc12128210由余弦定理：(223222cmnmn)cos10022mnmnmnmn36SmnFPF12126012363293sin、例二：解：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，（AB0）依题意：9321811625119116ABABAB所求双曲线方程为：yx221691例三：分析：在△ABC中由正弦定理可把sinsinsinBCA35转化为bca35，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。yxCAB-3解：在△ABC中，|BC|＝10由正弦定理：sinsinsinBCA35可化为：ACABBC356∴顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支又∵c＝5，a＝3，∴b＝4顶点的轨迹方程为Axyx2291613()注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键；（2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。例四：解：（1）由椭圆方程知：abc325，，焦点，，，FF125050设双曲线的标准方程为：xayb2122121由已知条件得：ccacabab1111212121155221所求双曲线的标准方程为：xy2241（2）解法一：M921，在第四象限又双曲线的渐近线为xyyx2294123将点的横坐标代入Mxyx92233∴双曲线的焦点必在x轴上设双曲线方程为：xayb22221baabab239211188222222所求双曲线标准方程为：xy221881解法二：所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线yx23设所求双曲线方程为：xy22940()又所求双曲线过点，M92192914222，所求双曲线方程为：xy221881例五：解：（1）设AB的方程为：y－1＝k（x－1）ykxkxyy142122，消去124424602222kxkkxkk设，，，，则，AxyBxyMxxyy1122121222xxkkkxxkkk122212224412222121，即k12又444122462222kkkkk将代入k120所求直线的方程为：ABxy210（1）另解法：设，，，，则，AxyBxyMxxyy1122121222ABxy、在双曲线上22421xyxy1212222242114212122012121212：xxxxyyyy又，xxyy121222241212xxyy当x1＝x2时，直线AB与双曲线没有交点。xxyyxxkAB1212121212，那么，直线的方程为：ABxy210双曲线的一条渐近线为yx22又，直线与双曲线有两个交点1222xyAB210即为的方程（2）假设过N112，的直线l交双曲线于C（x3，y3），D（x4，y4）两点则xyxy3232424242134214342034343434：xxxxyyyy依题意，又，xxxxyy34343421yyxxkCD34341双曲线的一条渐近线为yx22122，直线与双曲线没有公共点l使点，为弦的中点的直线不存在N112例六：1.答案：A2.答案：A3.分析：解决本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。xC1OC23yABM解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件知：MCACMAMCBCMBMAMBMCACMCBCMCMCBCAC112211222121312即动点M与两定点C1、C2的距离的差是2根据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支（点M与C2的距离大于与C1的距离）这里acb1382，，设M（x，y）∴轨迹方程为xyx22810()