高二数学培优讲义合情推理与演绎推理

衡阳个性化教育倡导者第十四讲合情推理与演绎推理教学目标：1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2、了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3、了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.一、知识回顾课前热身知识点1、合情推理(1)归纳推理：①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．知识点2、演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．课前练习1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．衡阳个性化教育倡导者2．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52013的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125解析：选A55＝3125,56＝15625,57＝78125，，58＝390625，59＝1953125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2013＝4×502＋5，所以52013与55后四位数字相同为3125.3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B①②不正确，③正确．二、例题辨析推陈出新例1、(1)(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199(2)设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解答](1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.(2)f(0)＋f(1)＝33，f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33，猜想f(x)＋f(1－x)＝33，证明：∵f(x)＝13x＋3，∴f(1－x)＝131－x＋3＝3x3＋3·3x＝3x33＋3x.∴f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x33＋3x＝13＝33.[答案](1)C利用本例(2)的结论计算f(－2014)＋f(－2013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2015)的值．解：∵f(x)＋f(1－x)＝33，∴f(－2014)＋f(－2013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2015)＝[f(－2014)＋f(2015)]＋[f(－2013)＋f(2014)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2015×33＝201533.衡阳个性化教育倡导者变式练习1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝14n2(n＋1)2.答案：14n2(n＋1)2例2、(2013·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝nb－man－m.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.[解答]法一：设数列{an}的公差为d1，则d1＝an－amn－m＝b－an－m.所以am＋n＝am＋nd1＝a＋n·b－an－m＝bn－amn－m.类比推导方法可知：设数列{bn}的公比为q，由bn＝bmqn－m可知d＝cqn－m，所以q＝n－mdc，所以bm＋n＝bmqn＝c·n－mdcn＝n－mdncm.法二：(直接类比)设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公比为q，因为等差数列中an＝a1＋(n－1)d1，等比数列中bn＝b1qn－1，因为am＋n＝nb－man－m，所以bm＋n＝n－mdncm.[答案]n－mdncm变式练习2．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D.求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．证明：如图所示，∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴△ABD∽△CAD，△ABC∽△DBA，衡阳个性化教育倡导者∴AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又∵BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.∴1AD2＝1AB2＋1AC2.猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.同理可得在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.故猜想正确.例3、已知函数f(x)＝－aax＋a(a＞0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点12，－12对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．[解答](1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点12，－12对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知得y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，f(1－x)＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a·axa＋a·ax＝－axax＋a，∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点12，－12对称．(2)由(1)可知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.则f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.变式练习3．已知函数f(x)＝ax＋bx，其中a0，b0，x∈(0，＋∞)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．衡阳个性化教育倡导者解：法一：设0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋bx1－ax2＋bx2＝(x2－x1)·ax1x2－b.当0x1x2≤ab时，∵a0，b0，∴x2－x10,0x1x2ab，ax1x2b，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在0，ab上是减函数；当x2x1≥ab0时，x2－x10，x1x2ab，ax1x2b，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在ab，＋∞上是增函数．法二：∵a0，b0，x∈(0，＋∞)，∴令f′(x)＝－ax2＋b＝0，得x＝ab，当0＜x≤ab时，－ax2≤－b，∴－ax2＋b≤0，即f′(x)≤0，∴f(x)在0，ab上是减函数；当x≥ab时，－ax2＋b≥0，即f′(x)≥0，∴f(x)在ab，＋∞上是增函数．三、归纳总结方法在握归纳1、归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．归纳2、类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．归纳3、演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．衡阳个性化教育倡导者四、拓展延伸能力升华例1、(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解]法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34