高二数学平均数及其估计

长沙家教网平均数及其估计【学习导航】学习要求1．知道平均数是对调查数据的一种简明的描述，它表示变量一切可能值的算术平均值，从而实现对总体可靠度的估计，学习时仔细体会它的实际意义。2．熟练掌握平均数的计算公式。【课堂互动】自学评价案例某校高一（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同的条件下进行测试，得到下列实验数据（单位：m/s2）:9.629.549.789.9410.019.669.889.6810.329.769.459.999.819.569.789.729.939.949.659.799.429.689.709.849.90怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？【分析】我们常用算术平均数niian11（其中ia(i=1，2，…，n)为n个实验数据）作为重力加速度的“最理想”的近似值．它的依据是什么？处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小．设这个近似值为x，那么它与n个实验值ia(i=1，2，…，n)的离差分别为1ax，2ax，…，nax．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|1ax|+|2ax|+…+|nax|取最小值时x的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即(1ax)2+(2ax)2+…+(nax)2，当此和最小时，对应的x的值作为近似值，因为(1ax)2+(2ax)2+…+(nax)2=22221212)(2nnaaaxaaanx，所以当)(121naaanx时离差的平方和最小，故可用)(121naaan作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这n个数长沙家教网，2a，…，na的平均数或均值，一般记为)(121naaana．用计算器操作，验证：求得重力加速度的最佳近似值为774.9xm/s2．【小结】1．n个实数naaaa,,,,321的和简记为niia12.已知n个实数naaaa,,,,321，则称naaan/)(21为这n个数据的平均数(average)或均值(mean)3.若取值为nxxx,,,21的频率分别为nppp，,,21，则其平均数为nnpxpxpx,2211【精典范例】例1某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些。甲班1128610684100871129494991081009611511110410711910793921029384941059810294107901209895119104951081111051029811211299941009084114乙班116951099610694981051011151081001109810710710611112197107111114106104981089911010310411210111396871081061039710711412210110710495111111110【分析】我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可。【解】用科学计算器分别求得甲班的平均分为101.1，乙班的平均分为105.4，故这次考试乙班成绩要好于甲班。长沙家教网下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h），试估计该学生的日平均睡眠时间。睡眠时间人数频率5.6,650.057,5.6170.175.7,7330.338,5.7370.375.8,860.069,5.820.021001【分析】要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间，由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示。【解】解法1总睡眠时间约为3775.73325.71775.6525.6)(739275.8625.8h故平均睡眠时间约为7.39h解法2求组中值与对应频率之积的和37.075.733.025.717.075.605.025.6)(39.702.075.806.025.8h答估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h例3某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入。【分析】上述比就是各组的频率【解】：估计该单位职工的平均年收入为%2022500%1517500%1012500%1532500%2527500%545000%1037500＝26125（元）答：估计该单位人均年收入约为2125元。例4学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩如下表：工作态度教学成绩业务学习王老师989596张老师909998(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？(2)如果三项成绩的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成绩，结果又会如何？【解】(1)王老师的平均分是(989596)396．张老师的均分是：(909998)395.7．王老师的平均分较高，评王老师为优秀．(2)王老师的平均分是长沙家教网(9820%9560%9620%)95.8，张老师的平均分为(9020%9960%9820%)97．张老师的得分高，评张老师为优秀．追踪训练1．期中考试之后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么MN为()A．4041B．1C．4140D．22．从某校全体高考考生的数学成绩中任意抽取20名考生的成绩（单位：分，总分：150分）为102,105,131,95,83,121,140,100,97,96,95,121,124,135,106,109,110,101,98,97，试估计该校全体考生数学平均成绩。解：样本的平均数为108.3估计该校全体考生数学平均成绩为108分3．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%，50%，10%，10%。（1）若全班共10人，则平均分是多少？（2）若全班共20人，则平均分是多少？（3）如果该班人数未知，能求出该班的平均分吗？解：(1)10/)115233(=2(2)20/)2110263(=2(3)可以21.015.023.03第8课时平均数及其估计分层训练1．某运动员参加体操比赛，当评委亮分后，其成绩往往是先去掉一长沙家教网个最高分、去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()(A)减少计算量(B)避免故障(C)剔除异常值(D)活跃赛场气氛2．某房间中10个人平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11人进入房间后，求11个人的平均身高。3．如上题，某房间中10个人平均身高为1.74米，求第11人身高为多少时，使得房间中所有11人的平均身高达到1.78米。4．从1,2，3,4，5,6这6个数中任取2个，求所有这样的两数之积的平均数。5．用甲、乙两台半自动车床加工同一型号的产品，各生产1000只产品中次品数分别用x和y表示。经过一段时间的观察，发现x和y的频率分布如下表，问：哪一台车床生产的产品质量较好？x0123p0.70.10.10.1y0123p0.50.30.20长沙家教网．某工厂一个月(30天)中的日产值如下：日产值(万元)5.15.25.35.45.55.65.7天数2368731试计算该厂这个月的平均日产值。7．证明：0)()(1xxxxn．8．为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：大肠杆菌个数/升01234频数17201021则所取50升水中平均含有大肠杆菌_____个/升估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为_______个。拓展延伸9．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：长沙家教网起始月薪(百元)14,1315,1416,1517,16频数7112623起始月薪(百元)18,1719,1820,1921,20频数15846估计这100名毕业生起始月薪的平均值10．个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表：李某大厨二厨采购员杂工服务生会计3000450350400320320410(1)计算所有人员8月份的平均工资长沙家教网(2)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？