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2.3.2双曲线的几何性质一、选择题1．(2009·宁夏、海南)双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A．23B．2C.3D．1[答案]A[解析]本题主要考查双曲线的几何性质．由双曲线x24－y212＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为3x±y＝0，∴焦点到渐近线的距离d＝|43|3＋1＝23.2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.x24－y24＝1B.y24－x24＝1C.y24－x28＝1D.x28－y24＝1[答案]B[解析]顶点为(0,2)，∴a＝2且焦点在y轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，∴有4＋2b＝2·2c，且4＋b2＝c2，解得b＝2.3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是()A．(1，5)B．(1，5)∪(5，＋∞)C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)[答案]C[解析]用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率ba2时，才能保证y＝2x与双曲线有公共点，∴c2－a2a24，即c2a25.∴ca5.4．如果x2|k|－2＋y21－k＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(1,2)[答案]A[解析]方程化为：y2k－1－x2|k|－2＝1，∴k－10，|k|－20.∴k2.又c＝k－1＋(k－2)＝2k－31，故选A.5．(2009·四川)已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→·PF2→＝()A．－12B．－2C．0D．4[答案]C[解析]本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，又点P(3，y0)在双曲线上，∴y20＝1，∴PF1→·PF2→＝(－2－3，－y0)·(2－3，－y0)＝－1＋y20＝0，故选C.6．已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x[答案]D[解析]由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点(3m2－5n2，0)，双曲线焦点(2m2＋3n2，0)．∴3m2－5n2＝2m2＋3n2.∴m2＝8n2.又∵双曲线渐近线为y＝±6·|n|2|m|·x，∴代入m2＝8n2，|m|＝22|n|，得y＝±34x.7．如果双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.2B．2C.3D．22[答案]A[解析]∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，又两渐近线互相垂直，所以a＝b，c＝a2＋b2＝2a，e＝ca＝2.8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.45B.53C．2D.73[答案]B[解析]由题意|PF1|－|PF2|＝2a，即3|PF2|＝2a，∴|PF2|＝23a，设P(x0，y)，则x00，∴23a＝ex0－a，∴e＝5a3x0.∵|x0|≥a，∴ax0≤1.∴e＝53·ax0≤53.故选B.9．(2010·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0[答案]C[解析]如图：由条件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c又知|PF2|＝|F1F2|，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由双曲线定义：|PF1|－|PF2|＝2a，则4b－2c＝2a∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b23b2＝4ab，∴ba＝43，∴渐近线方程：y＝±43x.故选C.10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是()A.x23－y24＝1B.x24－y23＝1C.x25－y22＝1D.x22－y25＝1[答案]D[解析]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，依题意c＝7，∴方程可化为x2a2－y27－a2＝1，由x2a2－y27－a2＝1，y＝x－1，得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2a27－2a2.∵x2＋x22＝－23，∴－a27－2a2＝－23，解得a2＝2.故所求双曲线方程为x22－y25＝1.二、填空题11．与椭圆x29＋y24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________．[答案]2x25－2y25＝1[解析]∵双曲线的两渐近线互相垂直，∴双曲线为等轴双曲线，又c2＝5，∴a2＝b2＝52.12．(2008·安徽)已知双曲线x2n－y212－n＝1的离心率为3，则n＝________.[答案]4[解析]①若焦点在x轴上，a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝ca＝12n＝3，∴n＝4.②若焦点在y轴上，a2＝n－12，b2＝－n，∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.13．已知点F、A分别为双曲线Cx2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则双曲线的离心率为________．[答案]1＋52[解析]由已知F(－c,0)，A(a,0)，∴FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)，∴由FB→·AB→＝0得－ac＋b2＝0，即c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0，解得e＝1＋52(另一根舍去)．14．(2008·江西)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线方程为y＝±33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．[答案]x24－3y24＝1[解析]易知右顶点为(a,0)，∴|a|1＋3＝1，a＝2，又双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线方程也是y＝±bax，∴ba＝33，a＝3b，b＝233，∴双曲线的方程为x24－3y24＝1.三、解答题15．已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－3y＝0，求双曲线的方程．[解析]解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x－3y＝0，则另一条为x＋3y＝0，可设双曲线方程为x2－3y2＝λ(λ0)，即x2λ－y2λ3＝1.由椭圆方程x264＋y216＝1可知c2＝a2－b2＝64－16＝48.双曲线与椭圆共焦点，则λ＋λ3＝48，∴λ＝36.故所求双曲线方程为x236－y212＝1.解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为x264－λ－y2λ－16＝1，由渐近线方程y＝13x可得λ－1664－λ＝13.∴λ＝28.故所求双曲线方程为x236－y212＝1.16．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2.求双曲线的方程．[解析]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝ca＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.由余弦定理，得(2c)2＝|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos60°)，∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|，又S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin60°＝123，∴|PF1|·|PF2|＝48，∴3c2＝48，c2＝16得a2＝4，b2＝12.所求双曲线方程为x24－y212＝1.17．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点A(14，5)，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为43，求此双曲线方程．[解析]双曲线x2a2－y2b2＝1的两渐近线的方程为bx±ay＝0.点A到两渐近线的距离分别为d1＝|14b＋5a|a2＋b2，d2＝|14b－5a|a2＋b2，已知d1d2＝43，故|14b2－5a2|a2＋b2＝43①又A在双曲线上，则14b2－5a2＝a2b2，②②代入①，得3a2b2＝4a2＋4b2，③联立②、③解得b2＝2，a2＝4.故所求双曲线方程为x24－y22＝1.18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．[解析](1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：易知F1(－23，0)、F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，F1F2上的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.