高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-2-3

3.2第3课时均值不等式习题课基础巩固一、选择题1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是()A.1x＋y≤14B.1x＋1y≥1C.xy≥2D.1xy≥1[答案]B[解析]取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B.具体比较如下：∵0x＋y≤4∴1x＋y≥14故A不对；∵4≥x＋y≥2xy，∴xy≤2，∴C不对；又0＜xy≤4，∴1xy≥14∴D不对；1x＋1y＝x＋yxy≥2xyxy＝2xy，∵1xy≥12，∴1x＋1y≥1.2．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数[答案]A[解析]令2x＝1x，由x0得x＝－22，∴在x＝－22两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C、D.f(x)＝2x＋1x－1＝－－2x－1x－1≤－2－2x·－1x－1＝－22－1，等号在x＝－22时成立，排除B.3．设实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，则ax＋by的最大值是()A．2B.3C.5D.1210[答案]B[解析]令a＝cosα，b＝sinαα∈[0,2π)，x＝3cosβ，y＝3sinβ，β∈[0,2π)．∴ax＋by＝3cosαcosβ＋3sinαsinβ＝3cos(α－β)≤3.∴ax＋by的最大值为3.4．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值54B．最小值54C．最大值1D．最小值1[答案]D[解析]f(x)＝x－22＋12x－2＝x－22＋12x－2，∵x≥52，∴x－2≥12，f(x)≥2x－22·12x－2＝1.当且仅当x＝3时等号成立．5．设M＝(1a－1)(1b－1)(1c－1)，且a＋b＋c＝1(其中a，b，c∈R＋)，则M的取值范围是()A．[0，18)B．[18，1)C．[1,8)D．[8，＋∞)[答案]D[解析]∵a＋b＋c＝1，∴M＝(a＋b＋ca－1)(a＋b＋cb－1)(a＋b＋cc－1)，＝(ba＋ca)(ab＋cb)(ac＋bc)≥2bca2·2acb2·2abc2＝8.∴M∈[8，＋∞)．6．若x、y是正数，则(x＋12y)2＋(y＋12x)2取得最小值是()A．3B.72C．4D.92[答案]C[解析](x＋12y)2＋(y＋12x)2＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2＝x2＋14x2＋y2＋14y2＋yx＋xy.∵x2＋14x2≥214＝1，y2＋14y2≥214＝1，yx＋xy≥2，当且仅当x2＝14x2y2＝14y2yx＝xy时成立，即x＝y＝22时，(x＋12y)2＋(y＋12x)2取得最小值为4.二、填空题7．(2010·山东文)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．[答案]3[解析]∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3，当且仅当x3＝y4，即x＝32，y＝2时取等号．8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________[答案]12(a－b)2[解析]从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式a2＋b22≥(a＋b2)2更简捷．∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[x－a＋b－x2]2＝a－b22.当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2，ymin＝a－b22.三、解答题9．已知a0，b0，c0，d0，求证：ad＋bcbd＋bc＋adac≥4.[解析]ad＋bcbd＋bc＋adac＝ab＋cd＋ba＋dc＝(ab＋ba)＋(cd＋dc)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b且c＝d时，取“＝”)．10．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．[解析]x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(ax＋by)＝a＋b＋ayx＋bxy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2等号在ayx＝bxy即yx＝ba时成立∴x＋y的最小值为(a＋b)2＝18又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.能力提升一、选择题1．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小的值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]由题意，得a＋b＝x＋ycd＝xy，∴a＋b2cd＝x＋y2xy＝x2＋y2＋2xyxy＝x2＋y2xy＋2，∵x0，y0，∴x2＋y2xy＋2≥2＋2＝4(当且仅当x＝y时，取“＝”号)．2．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8[答案]B[解析]∵x、y、a∈R＋，∴(x＋y)(1x＋ay)＝1＋axy＋yx＋a≥1＋2a＋a＝(1＋a)2，即9≤(1＋a)2，∴a≥4，故选B.二、填空题3．2008年的四川大地震震惊了整个世界，四面八方都来支援．从某地出发的一批救灾物资随17列火车以v千米/小时速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于(v20)2千米，问这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．[答案]8[解析]物资全部运到灾区需t＝400＋16×v202v＝400v＋16v400≥8，当且仅当400v＝16v400，即v＝100时，等号成立，∴tmin＝8.故这批物资全部运送到灾区最少需要8小时．4．(2010·浙江文)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．[答案]18[解析]∵x0，y0，∴2x＋y≥22xy，∴2x＋y＋6＝xy≥22xy＋6，∴(xy)2－22xy－6≥0，解得xy≥32，即xy≥18.三、解答题5．已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断12[f(x1)＋f(x2)]与f(x1＋x22)的大小并加以证明．[解析]12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22)∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，f(x1＋x22)＝lgx1＋x22，而x1、x2∈R＋，x1x2≤(x1＋x22)2，而f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上为增函数．∴lg(x1x2)≤lg(x1＋x22)2，∴12lg(x1x2)≤lgx1＋x22.即12(lgx1＋lgx2)≤lgx1＋x22.因此，12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22)．6．图画挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远的地方，才能使视角最大？(如下图)[解析]要求何时θ达最大值，可先求何时tanθ达到最大值．如图，tanα＝ax，tanβ＝bx.∴tanθ＝tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanαtanβ＝bx－ax1＋abx2＝b－ax＋abx，∵x＋abx≥2x·abx＝2ab(x0，a0，b0)．∴tanθ≤b－a2ab，当且仅当x＝abx即x＝ab时取“＝”．又∵x∈(0，π2)，y＝tanx是增函数，∴x＝ab时，θ有最大值．答：观察者站在离墙ab米的地方时，θ有最大值