高二数学数列的极限

第1页共4页数列的极限一、知识要点（1）数列极限的概念：一般地，在n无限增大的变换过程中，如果无穷数列{}na中的na无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{}na的极限，记作limnnaA。（2）数列的极限运算：如果BbAannnnlim,lim，那么BAbannn)(lim；BAbannn)(lim；)0(limBBAbannn注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：(a)参与运算的每一个数列的极限都是存在的；(b)参与运算的数列的个数必须是有限个。（3）几个重要的极限1lim0(1),lim0,lim(nnnnqqCCCn为常数）（4）无穷等比数列各项的和在无穷等比数列{}na中，如果01q，ns表示其前n项和，那么我们称nnsslim为这个无穷等比数列各项的和，且qas11。注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比q满足01q。二、例题选讲例1求下列极限：（1）22lim1nnnn；（2）12009lim(0)12010nnnaaa（3）2421222lim4nnn；（4）22221232lim()1111nnnnnn；例2（1）若21lim()01nnanbn，求实数ab、的值；（2）已知,133limnnnnnaa求实数a的取值范围。第2页共4页例3计算：（1）111lim[]1223(1)nnn；（2）2421111lim[(1)(1)(1)(1)]2222nn；（3）1111lim[(1)(1)(1)(1)]3452nnn例4求数列na的极限：（1）1(),()321,()1nnnannn为奇数为偶数；（2）1(),()321,()1nnnannn661010例5已知等比数列na的首项为a，公比为(01)qq，前n项和记为nS，令nG2222123()naaaanN，求limnnnSG。例6已知na是无穷等比数列，且所有项的和存在，（1）若1231,2naaaa求1a的范围；（2）若2312naaaa，求公比q的范围。例7已知数列na的前n项和为nS，且1(,10)nnSrarRr和，若lim1nnS，求r的取值范围。第3页共4页B3A3C2B2A2C1B1A1o例8如图所示，设正方形111OABC的面积为1，正方形1222AABC的面积为12，正方形2333AABC的面积为14，它们的面积都比前者缩小12，无限地作这种正方形。（1）求所有这种正方形面积的和；（2）点123,,,,,nAAAA当n无限增大时，求点nA无限地趋近哪一个点？（3）确定点123,,,,,nBBBB在怎样的一个曲线上，说明理由。例9已知数列na的首项为b，它的前n项和为nS，且12,,,,nSSS是一个等比数列，其公比为(01)qq。（1）求证：数列23,,,,naaa是一个等比数列；（2）求1122lim()nnnaSaSaS的值（用bq、表示）。例10已知无穷等比数列211111,,,,,222n（1）在其中取值，作一个首项为12m的无穷等比数列，求这个数列各项和的取值范围；（2）在其中取值，作一个无穷等比数列，其各项和S满足416113S，求S。第4页共4页三、课后练习1、若lim(34)5,lim(6)1nnnnnnabab，则lim(3)nnnab2、一个无穷等比数列所有项的和为52且16931aa，则它的公比为3、若223,(1000)1000,(1000)nnnann，则limnna4、设无穷递缩等比数列na的前n项和为nS，nnSSlim且nnnaSaS431，则数列na的公比q＝5、无穷等比数列na的各项和为7，若数列nb满足nnnnaaab31323，则数列nb的各项和为6、等差数列na，nb的前n项和分别为nnTS,且132nnTSnn，则nnnbalim7、如果0)21(limnnaa，则实数a的取值范围是8、对任意Nn，有112212221nnnta，其中t是与n无关的实常数，若53limtann，求t的值。9、已知1)(axxf为x的一次函数，)1()],1([)0(,1)(nngfnng（1）若))(1()(Nnngngan，求证：na是等比数列；（2）设nS是na的前n项和，求nnSlim。10、已知数列na，284a且满足1111nnnnaanaa（1）求321,,aaa及na的通项公式；（2）设nb为等差数列且cnabnn，其中c为不等于零的常数，若nnbbbT21，求)111(lim21nnTTT。11、已知数列na有12,()aaapp为常数，对任意的nN，有1()2nnnaaS。（1）求a的值；（2）判断数列na是否为等差数列；（3）对于数列nb，假如存在一个常数b使得对任意的nN都有nbb且limnnbb，则称b为数列nb的“上渐近值”。令2112nnnnnSSpSS，求数列122npppn的“上渐近值”。