高二数学测试题—空间角和距离(14)

-1-高二数学测试题—空间角和距离一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．a、b为异面直线，二面角M—l—N，Ma，Nb，如果二面角M—l—N的平面角为，则a，b所成的角为（）A．B．C．或D．2．在空间，如果x、y、z表示直线与平面，“若yx，zx，则y∥z”成立，那么x，y，z所分别表示的元素正确的是（）A．x，y，z都是直线B．x，y，z都是平面C．x，y为平面，z为直线D．x为直线，y，z为平面3．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定4．二面角M—l—N的平面角是60，直线a平面M，a与棱l所成的角是30，则a与平面N所成的角的余弦值是（）A．43B．22C．413D．215.正三棱柱ABC—A1B1C中，D是AB的中点，CD等于3，则顶点A1到平面CDC1的距离为（）．A．21B．1C．23D．26．在长方体ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．46B．36C．62D．637．二面角α-l-β的棱l上有一点P，射线PA在α内，且与棱l成45°角，与面β成30°角则二面角α-l-β的大小为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．90°-2-8．一条直线与平面a成60°角，则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是（）A．［0°，90°］B．45,0C．［60°，180°］D．［60°，90°］9．球面上A、B两点的球面距离是，过这两点的半径的夹角是60°，则这个球的体积为（）A．48B．36C．24D．1810．已知A（1，1，1），B（－1，0，4），C（2，－2，3），则〈AB，CA〉的大小为（）A．6B．65C．3D．3211．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成角为（）A．900B．450C．600D．3012．由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体。正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数值不同的k个锐角，k的数值是（）A．7B．6C．5D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．圆锥和一个球面相交，球心是圆锥的顶点，半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面积被球与圆锥侧面的交线所平分，则圆锥母线与底面所成角的大小为__________.14．一个锐角为30，斜边为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后斜边两端点的距离等于_______.15．如图，将两邻边长分别为a、b的矩形，按图中的实线折叠剪裁而折成的正四棱锥，则ba的取值范围是.16．把地球看作半径为R的球，A、B是北纬a度圈上的两点，它们的经度差为b，则A、B两点间的球面距离为___________.三、解答题（共计74分）17．（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3a，BC=CD=a．将△BCD沿BD折起，使得C到C′，且C′-BD-A为60°的二面角，求A、C′的距离．-3-DABCC1EO18．（本小题满分12分）若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20，平面α外一点P到A,B,C,三点距离都是25,求点P到平面的距离．19．（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC中点。在直线CC1上求一点N，使MN⊥AB1．20．（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD．（Ⅰ）求证：平面B1D1DB⊥平面A1C1CA；-4-（Ⅱ）当A1B1=2，且直线A1A到平面B1D1DB的距离为1时，求∠BAD的大小.D1C1A1B1ABDC21．（本小题满分12分）三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥面PAB，M、N分别在PC、AB上，且PM=MC，AN=3NB（I）求证：MN⊥AB；(II)当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长．22.（本题满分14分）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；（II）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；（III）求二面角N—EF—M的平面角的正切值.-5-高二下学期数学参考答案（7）一．选择题1C2D3D4C5B6A7B8D9B10D11D12C4解:设E、F30,,,PEFlPFMPl，过P作NPQ交N于Q，连FQ，则PFQ是二面角M—l—N的平面角，PFQ=60，PFQ是PE与平面N所成的角。设EP=4，则PF=2，PQ=13,322PQEPEQ，∴cosPFQ=413．lMNPFQE12.解：正四面体表面正三角形的中线所成角的余弦值有21,32,65,31,61五种．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）13.45º14.21015.2ba16.2Rarcsin(cosa·sinb/2)14解如图，直角三角形ABC中，30,90BC，CD是AB上的中线，E、F分别在CD和CD的延长线上，AECDBFCD,，则EF=1，AE=BF=23。以CD为折痕折为直二面角后，AB距离=210)23(1)23(22222222BFEFAEBEAE。ADFECB三、解答题（共计74分）17.解：过D作DE⊥AB于E，则BCDE为正方形，CE与BD交于O，则CE⊥BD．故∠C′OE为二面角C′-BD-A的平面角．所以∠C′OE=60º，COEECa22OCO，.4311211BECcos21AC-6-DABCC1EO18解：由斜线相等，射影相等知，P在底面的射影为△ABC的外心O，又△ABC为Rt△，外心在斜边中点，故PO=221025==52519解：方法1：如图AB1=AB+BB1，MN=21BC+CNAB1·MN=(AB+BB1)·(21BC+CN)=AB·(21BC)+AB·CN+BB1·(21BC)+BB1·CN=21×1×1(﹣21)+0+0+2|CN|=0∴|CN|=81方法2：坐标计算法AB1=(21,23,2)M(43,43,0)N(1,0,Z)MN=(41,﹣43,Z)由A1S1·MN=0得Z=81AC所在直线的x轴AA1所在直线为y轴A为原点方法3：AB1在面BCC1B1的射影为B1M，故之需B1M⊥MN，设CN=x.则有B1M=414MN=241x,B1N=2)2(1x由勾股定理x=8120．解：(Ⅰ）如图，因∠A1AB=∠A1AD，A1A=A1A，AB=AD，故ΔA1AB≌ΔA1AD．于是，A1B=A1D．故BD⊥A1O.又AB=AD，故BD⊥AC．又A1O∩AC=O，故BD⊥面A1C1CA．于是，-7-面B1D1DB⊥面A1C1CA．（6分）（Ⅱ）作A1F⊥OO1于F，则A1F⊥面B1D1DB．故A1F=1.（8分）过F作MN∥BD，分别交BB1、DD1于M、N，显然DD1⊥面A1MN，故DD1⊥A1N.设∠BAD=α，则A1N=2sinα，FN=OD=2sin2.（10分）在RtΔA1FN中，由勾股定理得（2sinα）2-（2sin2）2=1，即2cosα=cosα.又cosα≠0，故cosα=21，α=60°.也就是∠BAD=60°（12分）21．解：设.MNAB0|a|41|b|41ac21bc21a41b41)c21b41a41()ab(MNABc21b41a41PMPNMN,b43a41)ba(41bBNPBPN),cb(21PM,cbPC,abAB,0cb,0ca|,b||a|,CBC,bPB,aPA2222且则.2MN2168841cb4ca4ba2c4ba41)c2ba(41|c21b41a41|1|MN|2|c|22|b||a|0cbcaba,4AB,2BC,90APB)2(2222的长为即且时22.（满分14分）解：设AB=i，AD=j，AA1=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系A—xyz，则有E（21，0，1，），F（1，21，0），M（21，1，1），N（1，21，1）.（2分）（1）∵EF=（21，21，-1），MN=（21，-21，0），∴EF·MN=（21，21，-1）·（21，-21，0）=41-41+0=0.∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（6分）（2）由于FN=（0，0，1），MN=（21，-21，0），∴FN·MN=0，∴FN⊥MN.-8-∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.又MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.（8分）（3）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MG⊥EF.∴∠MGN为二面角N—EF—M的平面角.（12分）在Rt△NEF中，NG=336222MFNFENEFNFEN.∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=263322NGMN.∴二面角M—EF—N的平面角的正切值为26.（14分）