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2015届河北省石家庄市高二下学期期末考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1.难度：简单已知a是实数，i是虚数单位，是纯虚数，则a的值为（）.A．1B．﹣1C．D．﹣2.难度：简单用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）.A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的3.难度：简单若i为虚数单位，复数z=2﹣i，则+=（）.A．2+iB．2+iC．2+iD．2+3i4.难度：简单某人上班途中要经过三个有红绿灯的路口，设遇到红灯的事件相互独立，且概率都是0.3，则此人上班途中遇到红灯的次数的期望为（）.A．0.3B．0.33C．0.9D．0.75.难度：简单设随机变量X服从正态分布N（3，4），若P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），则a的值为（）.A．B．3C．5D．6.难度：简单已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）.A．B．C．D．7.难度：中等设（x﹣）6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为（）.A．B．C．16D．48.难度：简单甲，乙，丙，丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是（）.A．甲B．乙C．丙D．丁9.难度：简单某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为（）.A．12B．36C．72D．10810.难度：中等用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）.A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．11.难度：中等函数f（x）=（x2﹣2x）ex（e为自然数的底数）的图象大致是（）.12.难度：困难已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2nB．3nC．n2D．nn二、填空题13.难度：简单若（x+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9=39，则实数m的值为．14.难度：简单曲线y=x2﹣1与直线x+y=1围成的图形的面积为．15.难度：简单甲、乙两名选手进行围棋比赛，甲选手获胜的概率为，乙选手获胜的概率为，有如下两种方案，方案一：三局两胜；方案二：五局三胜．对于乙选手，获胜概率最大的是方案．16.难度：简单已知函数f（x）=x3+ax2﹣a（a∈R），若存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，且f（x0）=0，则a的值为．三、解答题17.难度：中等甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）试判断能否有99.5%的把握认为“考试成绩与班级有关”？参考公式：K2=；n=a+b+c+dP（K2＞k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.难度：中等某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（1）从每班抽取的学生中各随机抽取一人，求至少有一人及格的概率（2）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．19.难度：困难设数列{an}满足a1=3，an+1=an2﹣2nan+2，n∈N*．（1）求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不需证明）；（2）记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得2n＞Sn成立的最小正整数n，并给出证明．20.难度：压轴已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．21.难度：困难已知函数f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2，其中e是自然对数的底数，f′（x）为f（x）的导函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间[﹣1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．22.难度：困难如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．23.难度：困难已知圆C1的参数方程为（φw为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（1）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）圆C1，C2是否相交？请说明理由．24.难度：中等设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（1）求集合M；（2）若a，b∈M，求证：ab+1＞a+b．答案1.【解析】试题分析：为纯虚数，，即.考点：复数的除法、复数的分类.2.【解析】试题分析：该三段论的推理形式、小前提是正确的，但大前提“任何实数的平方大于0”是错误的，应是“任何实数的平方大于或等于0”.考点：演绎推理3.【解析】试题分析：，，则.考点：共轭复数、复数的模长.4.【解析】试题分析：由题意得，此人上班途中遇到红灯的次数,则，即此人上班途中遇到红灯的次数的期望为0.9.考点：二项分布的期望.5.【解析】试题分析：因为随机变量X服从正态分布N（3，4），且P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），所以与关于对称，即，所以，即.考点：正态分布.6【解析】试题分析：设事件“第一次拿到白球”为A,设事件“第二次拿到红球”为B,则事件“第一次拿到白球，第二次拿到红球”为AB；则,,由条件概率公式得.考点：条件概率.7【解析】试题分析：的展开式通项公式为，令，得，即即系数为,二项式系数为，则.考点：二项式定理.8解析】试题分析：利用相关系数比较两个变量的线性相关性，相关系数的正负体现两个变量的正相关或负相关，相关系数绝对值越接近１，说明线性相关性越强，而，所以能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是丁.考点：线性相关性.9【解析】试题分析：先从4个消防队中选出2个作为一个整体，有种选法；再将三个整体进行全排列，有种方法；根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为.考点：排列组合10【解析】试题分析：当时，左边=；当时，左边=；通过比较，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是.考点：数学归纳法.11【解析】试题分析：的定义域为,且；令，得；令，得；所以在上递增，在上递增在上递增，故排除B,D;又，故排除C;因此选A.考点：函数的图像.12【解析】试题分析：由题意，得：要使，则.考点：归纳推理.13【解析】试题分析：令，即，得：，又因为，所以，则.考点：二项式定理、赋值法.14.【解析】试题分析：作出图像（如图所示），联立，得或，则..考点：定积分的几何意义.15【解析】试题分析：对于方案一：；对于方案二：；通过比较，得对于乙选手，获胜概率最大的是方案一.考点：概率.16【解析】试题分析：，；若，则，则，（舍）；若，则，则；综上，.考点：函数的极值.17（1）不及格及格总计甲班43640乙班162440总计206080（2）有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.【解析】试题分析：解题思路：（1）按班级分两类，按成绩分两类填表即可；（2）套公式求值，利用临界值表进行判定.规律总结：独立性检验思想往往考查比较简单，正确列出列联表，套用公式即可.试题解析：（1）2×2列联表如下：不及格及格总计甲班43640乙班162440总计206080（2）由，所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.考点：独立性检验思想.18（1）；（2）X0123P．【解析】试题分析：解题思路：（1）先由茎叶图得出有关数据，利用对立事件求概率；（2）列出随机变量的所有可能求值，求出各自的概率，列表得出分布列，进而求出期望值.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；对于“至少”、“至多”，可以考虑事件的对立事件..试题解析：（1）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，设事件“从每班10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”为事件A．则，所以．（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1,2,3．；；；．所以X的分布列为X0123P因此.考点：1.茎叶图；2.随机事件的概率；3.离散型随机变量的分布列与期望.191）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1；（2）n＝6．【解析】试题分析：解题思路：（1）先由递推公式求，再猜想通项公式；（2）先进行猜想验证，再利用数学归纳法进行证明.规律总结：归纳推理是合情推理的一种，对数学定理、结论的求解起到非常重要的作用；此类题型的关键是通过已知的项，发现内在的规律与联系，进而提出猜想，再利用数学归纳法进行证明.试题解析：（1）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.（2）Sn＝＝n2＋2n，使得成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6（n∈N*）时都有2nn2＋2n.①n＝6时，2662＋2×6，即6448成立；②假设n＝k（k≥6，k∈N*）时，2kk2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k2（k2＋2k）＝k2＋2k＋k2＋2kk2＋2k＋3＋2k＝（k＋1）2＋2（k＋1），即n＝k＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）都有2nn2＋2n成立.考点：1.归纳推理；2.数学归纳法.201）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]；（2）．【解析】试题分析：解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）求导，利用零点存在定理判定在总存在零点.规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1）根据题意知，，当时，的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]．（2）∵，∴，∴.∴，∴.∵在区间上总不是单调函数，且，∴由题意知：对于任意的，恒成立，∴∴.考点：1.函数的单调性；2.函数的单调性的逆用.211）；（2）．【解析】试题分析：解题思路：（1）求导，利用赋值法求出即可；（2）构造函数，求导，判定单调性，进而求零点.规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1）由已知得，令，得，即.又，所以.从而.（2）由得.令，则.由得.所以当时，；当时，.∴在（－1,0）上单调递减，在（0,2）上单调递增．又，，且．∴两个图像恰有两个不同的交点时，实数的取值范围是.考点：1.赋值法；2.函数的零点.22（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：解题思路：（1）利用对应角分别相等证明三角形相似；（2）利用三角形相似和三角形的面积公式进行求解.规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.试题解析：（1）证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是