高二数学选修1-1《3.1.1变化率问题》学案

§3.1.1变化率问题[自学目标]:了解导数概念的实际背景[重点]:气球膨胀率和高台跳水问题的理解[难点]:平计算均变化率的[教材助读]:1、我们把式子称为函数()fx从1x到2x的平均变化率2、习惯上用x表示，即x=可把x看作是相对于1x的一个增量，可以用1xx代替2x，类似地，y。于是平均变化率可表示为[预习自测]问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?探究:计算运动员在49650t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念tho1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,称为函数)(xf从1x到2x的平均变化率.2.若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于1x的一个“增量”可用xx1代替2x,同样)()(12xfxfyf)则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212思考:观察函数)(xf的图象平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。[合作探究展示点评]探究一：平均变化率的概念例1已知函数xxxf2)(的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB则xy.探究二：求函数在某点处附近的平均变化率.例2求2xy在0xx附近的平均变化率.[当堂检测]1.质点运动规律为32ts,则在时间)3,3(t中相应的平均速度为多少?2.物体按照43)(2ttts的规律作直线运动,求在s4附近的平均变化率.[拓展提升]1．计算函数2()fxx从1x到-1xx的平均变化率，其中x的值为：（1）2；（2）1；（3）0.1；（4）0.01；（5）思考：当x越来越小时，函数()fx在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？2.求函数2()fxx在1,2,3x附近的平均变化率，取x都为13，在哪一点附近平均变化率最大？