高二数学选修变化率问题与导数的概念

3.1.1变化率问题与导数的概念一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0D．Δx≠0[答案]D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案]C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案]B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t20[答案]C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2B.52C．1D．0[答案]D[解析]Δy＝(Δx＋1)＋1Δx＋1－1－1＝Δx＋－ΔxΔx＋1，ΔyΔx＝1－1Δx＋1，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01－1Δx＋1＝1－1＝0，∴函数y＝x＋1x在x＝1处的导数为0.6．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]D[解析]Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．7．一个物体的运动方程是s＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为()A．3B．4C．5D．7[答案]B[解析]limΔt→03＋(2＋Δt)2－3－22Δt＝limΔt→0Δt2＋4ΔtΔt＝limΔt→0(Δt＋4)＝4.8．f(x)在x＝x0处可导，则limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx()A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关[答案]B[解析]式子limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关．9．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b[答案]C[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于()A．f′(a)B.12f′(a)C．4f′(a)D．2f′(a)[答案]D[解析]limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案]8[解析]limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－vt0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案]必要不充分[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t＝5时的瞬时速度为______．[答案]10m/s[解析]v＝S′|t＝5＝limΔx→0S(5＋Δx)－S(5)Δx＝limΔx→0(10＋Δx)＝10(m/s)．三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s＝s(t)＝12gt2.(1)计算t从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t＝3秒时的瞬时速度．[解析](1)取一小段时间[3,3＋Δt]，此时物体的位置改变量Δs＝12g(3＋Δt)2－12g·32＝12g(6＋Δt)Δt，相应的平均速度v＝ΔsΔt＝g2(6＋Δt)当Δt＝0.1时，即t从3秒到3.1秒v＝3.05g；当Δt＝0.01时，即t从3秒到3.01秒v＝3.005g.Δt越小，v就越接近时刻t的速度．(2)v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0g2(6＋Δt)＝3g＝29.4m/s.16．若f′(x)＝A，求limh→0f(x＋h)－f(x－2h)h.[解析]原式＝limh→0f(x＋h)－f(x)＋f(x)－f(x－2h)h＝limh→0f(x＋h)－f(x)h＋limh→02·f(x－2h)－f(x)－2h＝A＋2A＝3A.17．求函数y＝x在x＝1处的导数．[解析]解法一：(导数定义法)Δy＝1＋Δx－1，ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，所以limΔx→011＋Δx＋1＝12，即y′|x＝1＝12.解法二：(导函数的函数值法)Δy＝x＋Δx－x，ΔyΔx＝x＋Δx－xΔx＝1x＋Δx＋x.所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx＋x＝12x，故y′|x＝1＝12.18．路灯距地面8m，一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．[解析](1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym.由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝14x.(2)∵84m/min＝1.4m/s，而x＝1.4t.∴y＝14x＝14×1.4t＝720t，t∈[0，＋∞)．Δy＝720(10＋Δt)－720×10＝720Δt，∴y′|t＝10＝limΔt→0ΔyΔt＝720.即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.