高二数学选修椭圆的简单几何性质

2.1.2椭圆的简单几何性质一、选择题1．已知点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则()A．点(－3，－2)不在椭圆上B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3,2)在椭圆上D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案]C[解析]∵点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.2．椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k0)具有()A．相同的长轴B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的离心率[答案]D[解析]椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k0)中，不妨设ab，椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e1＝a2－b2a，椭圆x2a2k＋y2b2k＝1(k0)的离心率e2＝ka2－b2ka＝a2－b2a.3．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A.22B.32C.53D.63[答案]A[解析]由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，e＝ca＝22.4．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0k9)的关系为()A．有相等的长、短轴B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．x，y有相同的取值范围[答案]B[解析]∵0k9，∴09－k9,1625－k25，∴25－k－9＋k＝16，故两椭圆有相等的焦距．5．以椭圆两焦点F1、F2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e等于()A.12B.22C.32D.255[答案]B[解析]由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，∴e＝ca＝22.6．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1D.x281＋y236＝1[答案]A[解析]∵2a＝18，∴a＝9，由题意得2c＝13×2a＝13×18＝6，∴c＝3，∴a2＝81，b2＝a2－c2＝81－9＝72，故椭圆方程为x281＋y272＝1.7．焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为()A.x236＋y216＝1B.x216＋y236＝1C.x26＋y24＝1D.y26＋x24＝1[答案]A[解析]由题意得c＝25，a＋b＝10，∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，解得a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为x236＋y216＝1.8．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是()A.14B.12C.22D.32[答案]D[解析]由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴ca＝32.9．(2009·浙江文，6)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.12[答案]D[解析]本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质．由已知B点横坐标为－c，取B(－c，b2a)．∵AP→＝2PB→.∴AP→＝23AB→∵AB所在直线方程为y＝－a－ca(x－a)，∴P点纵坐标为a－c.由△BFA∽△POA得，b2aa－c＝32，∴2c2－3ac＋a2＝0.即2e2－3e＋1＝0解得e＝12(e＝1舍去)．故选D.10．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程是()A.x236＋y220＝1B.x228＋y212＝1C.x225＋y29＝1D.x220＋y24＝1[答案]C[解析]由题意得c＝4，∵P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积为12，∴12×2c×b＝12，即bc＝12，∴b＝3，a＝5，故椭圆方程为x225＋y29＝1.二、填空题11．如图，在椭圆中，若AB⊥BF，其中F为焦点，A、B分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e＝________.[答案]5－12[解析]设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则有A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，由AB⊥BF，得kAB·kBF＝－1，而kAB＝ba，kBF＝－bc代入上式得ba－bc＝－1，利用b2＝a2－c2消去b2，得ac－ca＝1，即1e－e＝1，解得e＝－1±52，∵e0，∴e＝5－12.12．椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为________．[答案]12[解析]由题意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝ca＝12.13．经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．[答案]2b2a[解析]∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，由x＝±cx2a2＋y2b2＝1，得y2＝b4a2，∴|y|＝b2a，故弦长为2b2a.14．椭圆x25a＋y24a2＋1＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围________．[答案]0，55[解析]由题意知5a4a2＋1，∴14a1，∴e＝5a－(4a2＋1)5a＝155－4a＋1a≤155－4＝55(当且仅当a＝12时，取“＝”)．三、解答题15．已知F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝32，求椭圆的方程．[解析]由题意，得4a＝16ca＝32，∴a＝4，c＝23.∴b2＝a2－c2＝4，所求椭圆方程为x216＋y24＝1.16．已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率为e＝105，求m的值．[解析]由已知可得椭圆方程为x25＋y2m＝1(m0且m≠5)．当焦点在x轴上，即0m5时，有a＝5，b＝m，则c＝5－m，依题意得5－m5＝105，解得m＝3.当焦点在y轴上，即m5时，有a＝m，b＝5.则c＝m－5，依题意有m－5m＝105.解得m＝253.即m的值为3或253.17．动点M到一个定点F(c,0)的距离和它到一条定直线l：x＝a2c的距离比是常数e＝ca(0e1)，求动点M的轨迹方程．[解析]设M(x，y)，由题意得(x－c)2＋y2x－a2c＝ca，(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，令a2－c2＝b2，方程化为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∴所求动点的轨迹方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．18．已知椭圆x2100＋y236＝1上有一点P，到其左、右两焦点距离之比为，求点P到两焦点的距离及点P的坐标．[解析]设P(x，y)，左、右焦点分别是F1、F2，∵a＝10，b＝6，c＝8，e＝ca＝45，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.又|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝5，|PF2|＝15.由两点间的距离公式可得(x＋8)2＋y2＝25(x－8)2＋y2＝225，解得x＝－254.代入椭圆方程得y＝±3394.故点P的坐标为－254，3394或－254，－3394.