高二数学空间几何体及其表面积与体积

第十单元立体几何第一节空间几何体及其表面积与体积基础梳理1.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念及侧面积公式名称概念侧面积公式直棱柱与正棱柱侧棱和底面______的棱柱叫做直棱柱底面是________的直棱柱叫做正棱柱.S直棱柱侧＝____正棱锥底面是________，并且顶点在底面的正投影是_________的棱锥叫做正棱锥S正棱锥侧＝______正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台.S正棱台侧＝________(c＋c′)h′垂直正多边形ch正多边形底面的中心ch′2.旋转体的侧面积及表面积名称侧面积公式表面积公式圆柱S侧＝____＝______S＝______圆锥S侧＝______＝______S＝______圆台S侧＝_________＝________S＝________________球S＝______πrlcl2πrl2πr(r＋l)12clπ(r＋r′)lπr(r＋l)(c＋c′)l124πR2π[(r＋r′)l＋(r2＋r′2)]3.简单几何体的体积名称体积公式柱体V＝____________锥体V＝____________台体V＝____________球V＝____________Sh13Sh''1()3hSSSS43πR3基础达标1.一个圆锥的侧面展开图的中心角为90°，母线长为2，则此圆锥的底面半径为________．12解析：侧面展开图扇形的弧长为2×＝π，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝π，解得r＝.2122.(必修2P49练习1改编)已知正四棱柱的底面边长是3，体对角线长是3，则这个正四棱柱的侧面积为________．5363解析：设正四棱柱的高为h，由题意有h2＋32＋32＝(3)2，则h＝3，则正四棱柱的侧面积为S侧＝ch＝4×3×3＝.5333633.与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为________．π∶6解析：设正方体的棱长为a，则球的直径为a，则S球＝πa2，S正方体＝6a2，所以6SS球正方体4.(必修2P54练习1改编)用一张长为8cm，宽为4cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为_________________．cm3或6432cm3解析：分两种情况讨论：①用8cm的边围成圆柱的底，则圆柱的底面半径为r＝＝，则圆柱的体积为V＝πr2h＝π×2×4＝cm3；②用4cm的边围成圆柱的底，则圆柱的底面半径为r＝＝，则圆柱的体积为V＝πr2h＝π×2×8＝cm3.8244644222325.圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．733解析：由题意知，圆台上底半径r＝1，下底半径R＝2，∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)l＝6π，则l＝2，所以圆台的高为h＝，则圆台的体积223lRr217334433V经典例题题型一几何体的表面积【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．分析：要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个平面图形中，转化为平面几何的问题，将空间中的问题转化为平面中的问题是解决立体几何的核心思想．解：正三棱台ABCA1B1C1中，O，O1为两底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．由题意知AB＝30，A1B1＝20，则O1D1＝，OD＝，又S侧＝S上底＋S下底，有×(20＋30)×DD1×3＝×(202＋302)，解得DD1＝.在直角梯形O1ODD1中，O1O＝，所以棱台的高为.103353121413332211143DDODOD43变式1－1(2011·徐州三模)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以BC边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．解析：以BC为轴旋转一周形成底面半径为2，高为3的圆柱面，则其侧面积为S侧＝2πrl＝12π.12π变式1－2(2009·全国)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．20π解析：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π.35题型二几何体的体积问题【例2】已知正三棱锥PABC的底边长为6，侧棱长为5，求正三棱锥PABC的体积和侧面积．分析：要求正三棱锥的体积，要先求其高，根据正三棱锥的定义知，顶点P在底面ABC上的射影是底面的中心，可作出高．解：设底面三角形ABC的中心为O，则PO⊥面ABC，即PO是高．延长CO交AB于D，如图，则D是AB中点，CD＝3，由于O是中心，且是重心，所以CO＝2，则在直角三角形POC中，PO＝，则正三棱锥P-ABC的体积为V＝.因为正三棱PABC的侧面是三个全等的等腰三角形，且该等腰三角形的底长为6，腰长为5，则其高为，则正三棱锥PABC的侧面积为S侧＝3××6×4＝36，所以正三棱锥PABC的体积为3，侧面积为36.33225231321361333934225341239变式2－1(2011·如东中学期中考试)如图所示，四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，平面APD⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，E是PC中点．求三棱锥EPBD的面积．解：过P点作PO⊥AD于O，由平面APD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD为等腰直角三角形且AB＝1，AD＝2，∴PO＝1.VEPBD＝VDPBE＝VPDBC＝VPABCD＝·S矩形ABCD·PO＝.1214141316题型三几何体的侧面展开图问题【例3】圆锥母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线SA上有一点B，AB＝2cm，那么由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为________．分析：两点之间直线段最短，由题意要由A点绕圆锥侧面一周到B点，所以需要将此圆锥沿SA侧面展开．解：作出如图所示的侧面展开图，则所求最短距离为线段A′B，弧的长为3，则∠A′SB=90°，SA=6，SB=4，由勾股定理有A′B2=42+62=52，则A′B=2cm.'AA13连接高考(2010·上海)已知四棱锥PABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱椎的体积是________．知识准备：1.要知道锥体的体积公式V＝Sh；2.PA是高13解析：V=×36×8=96，故填96.13