抽象函数的性质及解题技巧

重庆书之香教育抽象函数专题CHONGQINGEDUCATION1抽象函数（一）常用抽象函数及其模型特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或)y(f)x(f)yx(f]指数函数f(x)=ax(a0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[)y(f)x(f)yx(f或对数函数f(x)=logax(a0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[)]y(f)x(f)yx(f或正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx)y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f余切函数f(x)=cotx)y(f)x(f)y(f)x(f1)yx(f（二）抽象函数常出题型1、定义域问题--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。评析：已知f(x)的定义域是A，求xf的定义域问题，相当于解内函数x的不等式问题。例：已知函数f(x)的定义域是2,1，求函数xf3log21的定义域。评析：已知函数xf的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数x的值域。2、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2fnfnfynx得令令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n故即②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)=f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.练习：函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有(6)()(3)fxfxf成立，若(1)2f，则(2005)f=（）重庆书之香教育抽象函数专题CHONGQINGEDUCATION2A.2005B.2C.1D.03、值域问题例.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,使得)()(21xfxf，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，0)2()(2xfxf,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)0.4、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例1、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,xxxfxf11,求f(x)的解析式。解:(1)1),x0(xx1)x1x(f)x(f且----,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用（2）:)1(x-11得中的代换再以x.12)()x-11f(xxxf---（3）1)x0(xx2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例2、已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。5、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）例1、设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)f(x1).（∵x2-x10,∴f(x2-x1)0）所以f(x)是R上的减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.练习:已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，f(x)在(0,+∞)上是增函数；解：（1）设210xx，则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx∵210xx，∴211xx，∴21()xfx0，即21()()0fxfx，∴21()()fxfx重庆书之香教育抽象函数专题CHONGQINGEDUCATION3∴()fx在(0,)上是增函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6、奇偶性问题例：已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足)()(1)()()(1xfyfyfxfyxf，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。证明：设t=x-y,则)()()(1)()()()(1)()()()(tfxfyfxfyfyfxfxfyfxyftf，所以f(x)为奇函数。例15：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：)(xf在),0(上减，而0122aa，01232aa，所以由)123()12(22aafaaf得1231222aaaa，解得30a。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(afaffaf或等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证f(x)为奇函数；证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)----①令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．重庆书之香教育抽象函数专题CHONGQINGEDUCATION47、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周期性对称性1axfaxf→T=2aaxfaxf→对称轴axyfxa是偶函数；axfaxf→对称中心（a,0）yfxa是奇函数2xbfxaf→T=abxbfxaf→对称轴2bax；xbfxaf→对称中心)0,2(ba；3f(x)=-f(x+a)→T=2af(x)=-f(-x+a)→对称中心0,2a4xbfxaf→T=2abxbfxaf→对称中心0,2ba5f(x)=±xf1→T=2af(x)=b-f(-x+a)→对称中心2,2ba6f(x)=1-0)(1xfaxf→T=3a结论：(1)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|（4）应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2abx对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2(ab对称（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）由恒等式判断：x前符号相同，判断函数的周期性（1）)(xf前有负号，周期为前后法则相减绝对值的2倍：baT2（2）)(xf前无负号，周期为前后法则相减的绝对值：baTx前符号相反，判断函数的对称性（1）)(xf前无负号，函数图像关于轴对称，对称轴为，前后法则相加和的一半：2ba（2）)(xf前有负号，函数图像关于点对称，对称中心为：)0,2(ba下午13：00—17：00B．实行不定时工作制的员工，在保证完成甲方工作任务情况下，经公司同意,可自行安排工作和休息时间。3．1．2打卡制度重庆书之香教育抽象函数专题CHONGQINGEDUCATION53.1.2.1公司实行上、下班指纹录入打卡制度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间；3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。3.1.2.5手工考勤制度3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。3.1.2.8参与手工考勤的