高二数学选修知识点

1第1节变化率与导数、导数的计算（两课时）1．导数的概念：函数y＝)(xf的导数)(xf，就是当Δx0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比xy的，即)(xf＝＝．2．导函数：函数y＝)(xf在区间(a,b)内的导数都存在，就说)(xf在区间(a,b)内，其导数也是(a,b)内的函数，叫做)(xf的，记作)(xf或xy，函数)(xf的导函数)(xf在0xx时的函数值，就是)(xf在0x处的导数.3．导数的几何意义：设函数y＝)(xf在点0x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM处的.4．求导数的方法(1)八个基本求导公式)(C＝；)(nx＝；(n∈Q))(sinx＝，)(cosx＝)(xe＝，)(xa＝)(lnx＝，)(logxa＝(2)导数的四则运算)(vu＝])([xCf＝)(uv＝，)(vu＝)0(v(3)复合函数的导数设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导，且)(xf＝，即xuxuyy.例1．求函数y=12x在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy=11)(11)(11)(202020202020xxxxxxxxx.11)(2,11)()(220200202020xxxxxxyxxxxxx变式训练1.求y=x在x=x0处的导数.解)())((limlimlim00000000000xxxxxxxxxxxxxxxyxxx.211lim0000xxxxx例2.求下列各函数的导数：典型例题基础过关2（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy解(1)∵,sinsin23232521xxxxxxxxy∴y′.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y=)3)(2)(1()3()2)(1(xxxxxx=)2)(1()2(）1（xxxx（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=,sin212cos2sinxxx∴.cos21)(sin21sin21xxxy（4）xxxxxxxy12)1)(1(111111，∴.)1(2)1()1(21222xxxxy变式训练2：求y=tanx的导数.解y′.cos1cossincoscos)(cossincos)(sincossin22222xxxxxxxxxxx例3.已知曲线y=.34313x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4.∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313x与过点P（2，4）的切线相切于点3431,300xxA，则切线的斜率k=y|0xx=20x.∴切线方程为),(343102030xxxxy即.34323020xxxy∵点P（2，4）在切线上，∴4=,343223020xx即,044,0432020302030xxxxx∴,0)1)(1(4)1(00020xxxx∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或413例4.设函数bxaxxf1)((a,b∈Z)，曲线)(xfy在点))2(,2(f处的切线方程为y=3.（1）求)(xf的解析式；（2）证明：曲线)(xfy上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(bxaxf，于是,0)2(1,32122baba解得,1,1ba或.38,49ba因为a,bZ，故.11)(xxxf（2）证明在曲线上任取一点11,000xxx．由200)1(11)(xxf知，过此点的切线方程为)()1(11110200020xxxxxxy．令x=1，得1100xxy，切线与直线x=1交点为11,100xx．令y=x，得120xy，切线与直线y=x的交点为)12,12(00xx．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000xxxxx．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.②∴f（x）=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=-1.③∵)1(f=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④由③④得a=25，c=29.∴函数y=f（x）的解析式为.12925)(24xxxf1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.小结归纳