11.5第二类曲面积分

第二类曲面积分一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分上侧和下侧曲面分左侧和右侧莫比乌斯带在光滑曲面上任取定一点,P并作曲面的法线,该法线有两个可能的方向,选定其中一个方向,如果(不跨越曲面的边界)相应的法向量的P在曲面上点回到原来的位置时,方向与原方向相同,就称是一个双侧曲面;径连续地变动后沿任一路如果相应的法向量的方向与原方向相反,是一个单侧曲面.就称通常我们遇到的曲面都是双侧的,如球面、旋转抛物面、马鞍面等.但是单侧曲面也是存在的,所1、曲面侧的概念谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子.n典型双侧曲面•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.对于双侧曲面,我们可通过选定曲面上的一个法向量来规定曲面的侧.反之,我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上各点处的法向量的指向.2、有向曲面的概念（曲面的定侧）例如由方程zz(xy)表示的曲面为双侧曲面，可分为上侧与下侧设为曲面上的法向量，则当cos0时n所指向的一侧是上侧{cos,cos,cos}n同理当cos0时n所指向的一侧就是下侧如果取定曲面的上侧，我们就认为它的法向量指向被取定。曲面的侧确定与它的法向量有何关系呢？其方向用法向量指向表示。方向余弦coscoscos0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面,类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的右侧当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的左侧如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧3、曲面在坐标面上的投影在有向曲面上取一小块曲面S用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影.0cos,00cos,)(0cos,)()(xyxyxyS类似地,可以定义在及面上的投影。SyOzzOx二、第二类曲面积分的概念与性质1、实例:流向平面一侧的流量.(1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).Av0nA0cosvAvnAvA流量(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.xyzo2、第二类曲面积分的概念与性质定义设为光滑的有向曲面,其上任一点),,(zyx处的单位法向量,coscoscoskjin又设其中函数RQP,,在上有界,则有函数coscoscosRQPnA它在上的第一类曲面积分dSRQPdSnA)coscoscos(),,(zyxA,),,(),,(),,(kzyxRjzyxQizyxP，称为函数),,(zyxA在有向曲面上的第二类曲面积分.在第二类曲面积分dSnA中,我们称dSn为,cosdydzdS,cosdzdxdS.cosdxdydS于是,第二类曲面积分可写成如下形式:dSnASdAdSRQP)coscoscos((1)有向曲面元,常将其记为.Sd它在三个坐标在上的投影分别记为.RdxdyQdzdxPdydz这种形式的第二类曲面积分又称为对坐标的曲面积分..RdxdyQdzdxPdydz第二类曲面积分在实际应用中常出现的形式是注:(1)式给出了两类曲面积分之间的联系.其中为负,甚至为零,而且当n改变方向时,它们都要改变符号,与二重积分的面积微分元dxdy总取正值是有区别的.要注意到,可能为正也可能这里的,dydz,dzdxdxdy（1）、存在条件:当),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.（2）、物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(（3）第二类曲面积分与有向曲面的法向量的指向有关。如果改变曲面的法向量的指向,则积分要改变符号,即.dSnAdSnA（4）第二类曲面积分也有与二重积分类似的性质.如积分的可加性等.三、第二类曲面积分的计算先考察积分的计算问题,dxdyzyxR),,(其它情形依此类推.设光滑曲面),(:yxzz多交于一点,它在面上的投影区域为xOy,xyD则,cosdxdydS由,cosdSd有dSzyxRdxdyzyxRcos),,(),,(与平行于z轴的直线至dyxzyxRxyD|cos|cos)],(,,[2----化为二重积分dyxzyxRxyD|cos|cos)],(,,[2.)],(,,[dxdyyxzyxRxyD上式右端取”“”“号或号要根据是锐角还是钝角而定.当2时,有,0),,(dxdyzyxR同理,如果曲面由给出,),(zyxx则有.],),,([),,(dydzzyzyxPdydzzyxPyzD.],),,([),,(dydzzyzyxPdydzzyxPyzD如果曲面由给出,),(xzyy则有.]),,(,[),,(dzdxzxzyxQdzdxzyxQzxD当2时,有.0),,(dydzzyxP注:积分曲面更复杂的情形可分片计算之.当2时,有,0),,(dydzzyxP(,,)[,,(,)]xyDRxyzdxdyRxyzxydxdy(,),xxyz2.如果由给出则有yzDdydzzyzyxPdydzzyxP],),,([),,((,),yyzx3.如果由给出则有zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ]),,(,[),,((,),zzxy1.如果由给出则有(前正后负)(右正左负)(上正下负)小结：第二类曲面积分的计算应注意的问题:(3)曲面S取哪一侧；(2)向哪个坐标面投影；(1)曲面S用什么方程表示；(4)积分前取什么符号。dydzxdydzxdydzx22243dydzdydzayzyzDD02方体的整个表面的外侧{(xyz)|0xa0yb0zc}例1计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx222其中是长把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此dydzxdydzxdydzx22243dydzdydzayzyzDD02方体的整个表面的外侧{(xyz)|0xa0yb0zc}例1计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx222其中是长把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此dydzxdydzxdydzx22243dydzdydzayzyzDD02a2bc同理可得acbdzdxy22abcdxdyz22于是所求曲面积分为(abc)abc例2计算xyzdxdy，其中Σ是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.解两部分和分成把212222:1;zxy2211:1,zxyxyz1212xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222xyDrdrdrr解两部分和分成把212211:1;zxy2222:1,zxydddddd:PyzQzxRxy求的步骤1)观察积分域的方程所含的变量与积分域变量是否一致.2)如果不一致,改变积分域方程或改变积分变量.:i)注没投影前,积分域方程可代入到被积函数中.如果一致,上、前、右投影后为正,下、后、左投影后为负.ii),.投影后变成二重积分后不可代iii)n与坐标轴垂直,相应的积分为零.练习：计算曲面积分,yzdzdxxydydzxzdxdy其中是平面1,0,0,0zyxzyx所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解,,,0:111yOzxOzz同理，1,0＝yzdzdxxydydzxzdxdy32.00＝，＝在4上，},1,1,1{n计算曲面积分,yzdzdxxydydzxzdxdy其中是平面1,0,0,0zyxzyx所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解在4上，},1,1,1{n,031coscoscos原式4000yzdzdxxydydzxzdxdy(1)(1)(1)xyyzxzDDDxxydxdyyzydydzxzzdxdz原式(1)(1)(1)xyyzxzDDDxxydxdyyzydydzxzzdxdzdxdyyxxxyD)1(3xdyyxxdx1010)1(3103221213dxxxx.81例3计算zdxdydydzxz)(2,其中Σ是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的部分的下侧.dydzxz)(2有上在曲面,dsxzcos)(2dxdyxzcoscos)(2.11cos,1cos2222yxyxx解:利用两类曲面积分的联系,有dxdyzxxzzdxdydydzxz]))([()(222222211{[()]()()}42xyDxyxxxydxdy22222211[()()42xyDxyxxxydxdy2252220011(coscos)42drrrrdr8.(coscoscos)PQRdS.PdydzQdzdxRdxdycoscos()coscosPQRdxdy不同的单一型积分化成相同的单一型积分方法(,),zzxy如果由给出则有)))xyDzzPQRdxdyxy（（其他情况类似。内容小结1.第二类曲面积分的概念函数),,(zyxA在有向曲面上的第二类曲面积分为dSnASdA..dSRQP)coscoscos(