圆锥曲线离心率的求法总结版(教师)

第1页共6页1,3P5,2a离心率的专题复习椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ace来解决。例1：已知1F、2F是双曲线12222byax（0,0ba）的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324B.13C.213D.13解1：变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（）A.43B.32C.21D.41解：由0,11F、0,32F知132c，∴1c，又∵椭圆过原点，∴1ca，3ca，∴2a，1c，所以离心率21ace.故选C.点在椭圆12222byax（0ba）的左准线上，过点P且变式练习2：方向为的光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33B31C22D21解：由题意知，入射光线为3251xy，关于2y的反射光线（对称关系）为0525yx，则05532cca解得3a，1c，则33ace，故选A变式练习3：[2016·全国卷Ⅲ]已知O为坐标原点，F是椭圆C12222byax（0ba）的左第2页共6页焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3412．A[解析]设M(－c，y0)，则AM所在直线方程为y＝y0－c＋a(x＋a)，令x＝0，得E（0，ay0－c＋a）.BM所在直线方程为y＝y0－c－a(x－a)，令x＝0，得y＝－ay0－c－a.由题意得－ay0－c－a＝12×ay0－c＋a，解得a＝3c，即e＝ca＝13.二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例2：设双曲线12222byax（ba0）的半焦距为c，直线L过0,a，b,0两点.已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.332解：由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得cbaab4322，又222bac,∴234cab,两边平方，得4222316caca，整理得01616324ee，得42e或342e，又ba0，∴2122222222ababaace，∴42e，∴2e，故选A变式练习1：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1F、2F，021120MFF，则双曲线的离心率为（）A3B26C36D33第3页共6页解：如图所示，不妨设bM,0，0,1cF，0,2cF，则2221bcMFMF，又cFF221，在21MFF中，由余弦定理，得212212221212cosMFMFFFMFMFMFF,即22222222421bccbcbc，∴212222cbcb，∵222acb，∴212222aca，∴2223ca，∴232e，∴26e，故选B变式练习2：【2017课标3，文11】已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）A．63B．33C．23D．13【答案】A变式练习3：[2016·全国卷文Ⅰ]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34[解析]不妨设直线l经过椭圆的焦点F(c，0)和顶点(0，b)，则直线l的方程为xc＋yb＝1，椭第4页共6页圆中心到直线l的距离为|－bc|b2＋c2＝14×2b.又a2＝b2＋c2，所以离心率e＝ca＝12.B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F、2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若21PFF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。解：12121222222221cccPFPFcacace变式练习1．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为.12变式练习2．已知F1、F2是双曲线)0,0(12222babyax的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是.13变式练习3．如图，1F和2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为.31四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆12222byax（0,0ba）的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦的长等于点1F到1l的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB是过1F且垂直于x轴的弦，∵1lAD于D，∴AD为1F到准线1l的距离，根据椭圆的第二定义，21211ADABADAFe第5页共6页变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A2B22C21D42解：221222ADAFe变式练习2：．已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为.65变式练习3：已知椭圆C：22221xyab（ab0）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线于C相交于A、B两点，若3AFFB，则k=.2五、构建关于e的不等式，求e的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式．（一）基本问题例．椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是．212，Ex1．设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是．(25)，Ex2．【2017课标II，文5】若1a，则双曲线2221xya的离心率的取值范围是A.(2,)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)【答案】C第6页共6页【解析】由题意222222111caeaaa，因为1a，所以21112a，则12e，故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,abc的方程或不等式，再根据,,abc的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.（二）数形结合例．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是.1[,1)2Ex1．已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是.2(0,)2