高一衔接教材一元二次不等式解法含绝对值的不等式

初高中衔接教材1、一元二次不等式解法二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：x－3－2－101234y60－4－6－6－406由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知一元二次方程x2－x－6＝0的解就是:同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是一元二次不等式x2－x－6＜0的解是上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，（1）xyOx1x2xyOx1=x2yxO图2.3－2②③①方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为:不等式ax2＋bx＋c＜0的解为:（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为:不等式ax2＋bx＋c＜0的解为：（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为：不等式ax2＋bx＋c＜0的解为：今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．例1、解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．例2、已知不等式20(0)axbxca的解是2,3xx或求不等式20bxaxc的解．例3、解关于x的一元二次不等式210(xaxa为实数).分析对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式,的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论.例6已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．练习1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．习题2A组1．解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；（4）4－x2≤0．B组1.解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．C组1．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0．2．试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．答案练习2．（1）无解（2）232333x（3）1－2≤x≤1＋2（4）x≤－2，或x≥2B组1．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；当a＝1时，原不等式的无实数解；当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．C组1．由题意，得－1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根，∴－1＋3＝－b2，－1×3＝－c2，即b＝－4，c＝6．∴等式bx2＋cx＋4≥0就为－4x2＋6x＋4≥0，即2x2－3x－2≤0，∴－12≤x≤2．2．∵y＝－x2＋mx＋2＝－(x－m2)2＋2＋m24，∴当0≤m2≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋m24；当m2＜0，即m＜0时，k＝2；当m2＞2，即m＞4时，k＝2m－2．∴22,0,2,04,422,4.mmkmmm2、含绝对值的不等式一【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即||a．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示的距离．二、讲解新课：1．)0(aax与)0(aax型的不等式的解法奎屯王新敞新疆先看含绝对值的方程|x|=2几何意义：数轴上表示数x的点离开原点的距离等于2.∴x=2提问：2x与2x的几何意义是什么？表示在数轴上应该是怎样的？数轴上表示数x的点离开原点的距离小（大）于2xO2-2xO2-2即不等式2x的解集是：不等式2x的解集是.：类似地，不等式)0(aax|与)0(aax的几何意义是什么？解集又是什么？即不等式)0(aax的解集是：不等式)0(aax的解集是：小结：①解法：利用绝对值几何意义②数形结合思想2．cbax,与)0(ccbax型的不等式的解法奎屯王新敞新疆把bax看作一个整体时，可化为)0(aax与)0(aax型的不等式来求解即不等式)0(ccbax的解集为：不等式)0(ccbax的解集为：三、讲解范例：例1、解不等式5500x.例2、解不等式752x.课内练习1．解不等式组111xx2．求使4123xx有意义的取值范围（）3．若313x则41291624922xxxx化简的结果为例3解不等式1|2x-1|5.练习：解下列不等式:7522x例2解不等式：|4x-3|2x+1.例3解不等式：|x-3|-|x+1|1.练习：解不等式：|x+2|+|x|4.例4.解关于x的不等式①)(Raax,②)(Raax例5.解关于x的不等式)(132Raax.练习：1.解下列不等式:(1)7522x(2)1122xx2．已知不等式ax2)0(a的解集为cxRx1|，求ca2的值.3、解下列不等式：（1）21x（2）13xx＞4．(3)327xx