求圆锥曲线的离心率的常用方法

求圆锥曲线的离心率的常用方法一、根据条件先求出a，c，利用e=ca求解例1若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为()A.34B.23C.12D.14解析：由F1、F2的坐标知2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=ca=12.故选C.例2如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为()A.32B.62C.32D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=ca=32,因此选C二、构建关于a，c的齐次等式求解例3设双曲线x2a2﹣y2b2＝1(0ab)的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.233解析：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，得aba2+b2＝34c，又c2=a2+b2,∴4ab=3c2,两边平方，得16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得3e4-16e2+16=0.解得e2＝4或e2＝43.又0ab，∴e2＝c2a2＝a2+b2a2=1+b2a22，∴e2＝4，∴e＝2.故选A.例4双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120，则双曲线的离心率为（）（A）3（B）62（C）63（D）33解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=|MF2|=c2+b2.又|F1F2|＝2c，在△F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2＝|MF1|2+|MF2|2﹣|F1F2|22|MF1|·|MF2|,即(c2+b2)+(c2+b2)﹣4c22c2+b2·c2+b2)＝cos120＝﹣12，∴b2﹣c2b2＋c2＝﹣12，图2∵b2＝c2﹣a2，∴﹣a22c2﹣a2＝﹣12，∴3a2＝2c2，∴e2＝32，∴e＝62.故选B.例5双曲线x2a2﹣y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.32解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b，∴c=2a，∴e＝ca＝2.故选C.三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e的取值范围例6设θ∈(0，4)，则二次曲线x2cotθ﹣y2tanθ=1的离心率的取值范围为()A.(0，12)B.(12，22)C.(22，2)D.(2，+∞)解析：由x2cotθ﹣y2tanθ=1，θ∈(0，4)，得a2＝tanθ，b2=cotθ,∴c2＝a2+b2＝tanθ+cotθ,∴e2＝c2a2＝tanθ+cotθtanθ＝1+cot2θ,∵θ∈(0，4)，∴cot2θ1,∴e22，∴e2.故选D.四、构建关于e的不等式，求e的取值范围例7如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段AC→所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e的取值范围．解析：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(﹣c，0)，C(c2，h),E(x0，y0)，其中c=12｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由定比分点坐标公式得x0＝-c+λ·c21+λ＝(λ-2)c2(1+λ)，y0＝λh1+λ．设双曲线的方程为x2a2﹣y2b2＝1，则离心率e=ca.由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得c24a2﹣h2b2＝1①，将点E的坐标代入双曲线方程得c24a2(λ﹣21+λ)2－(λ1+λ)2h2b2＝1②．再将e=ca①、②得e24﹣h2b2＝1，∴h2b2＝e24﹣1③，e24(λ﹣21+λ)2－(11+λ)2h2b2＝1④．将③式代入④式，整理得e24（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3e2+2．图3由题设23≤λ≤34得，23≤1－3e2+2≤34．解得7≤e≤10．所以双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．