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第1页（共22页）2017绵阳市一诊数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1．（5分）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8B．9C．10D．114．（5分）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0B．1C．2D．5．（5分）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元7．（5分）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左第2页（共22页）平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个8．（5分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α9．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为an（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7B．C．D．1410．（5分）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B．C．2D．111．（5分）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题13．（5分）若向量满足，则x=．14．（5分）公差不为0的等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=．第3页（共22页）15．（5分）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是．16．（5分）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三.解答题（共70分）17．（12分）函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．18．（12分）设数列{an}前n项和为Sn，已知Sn=2an﹣1（n∈N*），（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（Sn+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．20．（12分）f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）第4页（共22页）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=ex﹣e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m的取值范围．[极坐标与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．第5页（共22页）2017绵阳市一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1．（5分）（2016秋•天水期末）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且集合A={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）（2015•唐山二模）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2017春•北市区校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8B．9C．10D．11第6页（共22页）【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了上厕所了的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0B．1C．2D．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：x，y对应的可行域如图：z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A（1，0）时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为2×1+0=2；故选C．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何第7页（共22页）意义求最值是关键．5．（5分）（2016秋•绵阳月考）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：＜1，即p：x＞0；命题q：lnx＜1，即：0＜x＜e，则p是q成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．6．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元【分析】根据条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价．【解答】解：设标价为x元，则（x﹣200）×20%＞x×10%且（x﹣200）×20%＞30，第8页（共22页）∴x＞400，即他购买的商品的标价应高于400元．故选B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．（5分）（2016秋•绵阳月考）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个【分析】根据两角和差的正弦公式求得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），故将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）=2sin（2x+）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得1+sin2θ=4sin2α，再利用二倍角公式化简可得cos2α=cos2β，从而得出结论．【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2•=4•，化简可得cos2α=2cos2β，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础第9页（共22页）题．9．（5分）（2016秋•绵阳月考）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为an（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7B．C．D．14【分析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．可得a1=f（），q=2，可得an，即可得出．【解答】解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．a1=f（）=，q=2，∴an==2n﹣3，∴a3+a4+a5=1+2+22=7．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017春•金牛区校级月考）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B．C．2D．1【分析】由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，根据角平