高三数学

1高三数学（第4周）【教学内容】等差、等比数列的定义，性质，通项及求和公式，并能运用它们去解决数列中基本的运算问题。【教学目标】1、等差数列、等比数列的概念及通项公式，前n项和的计算公式是学习好数列的基础。首先我们要熟练掌握数列的概念，理解通项及求和公式推导的思想方法，在掌握公式的基础上，熟练掌握由已知n、an、d(q)、a1、sn中的某三个量，如何去计算另二个量的问题。2、能灵活地运用等差、等比数列的性质，如在等差数列中：（1）当m+n=p+q时，am+an=ap+aq（2）等差数列中任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项（3）等差数列中每k项的和仍为等差数列，公差为k2d等性质及等比数列中的相关性质，来解决具体问题。3、由于等差数列中sn是n的二次函数（其中d≠0）且常数项为零，因此当a10、d0时sn有最大值，当a10,d0时sn有最小值，求sn的最值时，可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的方法来解决。4、等差等比数列的知识还常运用于函数、方程、不等式、三角及几何等问题，我们要能灵活运用数列的概念及性质来解决这些数学问题。【知识讲解】例1、等差数列{an}中，a2+a4+a6+a12+a20+a32=18，求a8+a13+a17分析：由等差数列性质可知，等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项，则a2+a32=2a17，a4+a12=2a8，a6+a20=2a13∴2(a8+a13+a17)=18∴a8+a13+a17=9例2、在等比数列{an}中，a1+an=66,a2·an－1=128,sn=126，求n、q。分析：因为{an}为等比数列，所以由等比数列的性质：若m+n=p+q,则am·an=ap·aq可知a2·an－1=a1·an，代入已知条件可求出a1、an，知道了a1、an、sn用通项及求和公式就可以求出n与q了。解：∵数列{an}为等比数列，∴a2·an－1=a1·an,∴a1+an=66∴a1、an是方程a1·an=128x2－66x+128=0的两根，∴a1=2a1=64或an=64an=2当a1=2,an=64时，由qqaasnn11可得qq1642126，∴q=2,n=6同理，当a1=64,an=2时可及q=21,n=6例3、四个正数，前三个成等差数列，其和为48，后三个成等比数列，最后一数为25，求这四个数。2解：设此四个数为a－d、a、a+d、25，∵(a－d)+a+(a+b)=48,∴a=16,又后三个数成等比数列，∴（a+b）2=25a，即(16+d)2=25×16,∴d2+32d－144=0,d=4或d=－36（舍去），所以四个正数为：12、16、20、25。说明：当几个数成等或等比数列时，我们可以利用对称性质性设出这n个数。如三个数成等差数列时，可设为a－d、a、a+d，当四个数成等差数列时，可设为a－3d,a－d,a+d,a+2d等比数列也是类似的，这样设出来的n个数具有对称性，往往会给计算带来方便。例4、已知两个等差数列，它们的前n项和之比为1235nn，求这两个数列的第9项之比。解：设这两个等差数列分别为{an}、{bn}它们的前n项和分别为sn,sn’,由等差数列的性质可知a9=)(21),(211719171bbbaa∴3811723175'2)(172)(17)(21)(21171717117117117199ssbbaabbaaba说明：这里灵活地运用了等差数列的性质：等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项及等差数列的求和分式2)(1nnaans一般地，若{an}、{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn、Sn＇，且dcnbanSnSn'，则1212121121')12(2)()12(2)(ppppppsspbbpaaba例5、若两个方程x2-x+a=0，x2-x+b=0的四个根构成以41为首项的等差数列ab，试求a、b的值。解：设四个根以41，41+d，41+2d，41+3d，因为每个方程的两根之和均为1，∴41+(41+3d)=(41+d)+(41+2d)=1∴d=61,∴b=41·16343d=144351272410例6、已知△ABC中，三内角A、B、C的度数依次成等差数列，三边长a、b、c依次成等比数列，试判断△ABC的形状。证法一、∵A、B、C成等差数列,∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°A+C=120°3∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac,由正弦定理知sin2B=sinA·sinC,∴sinA·sinC=43,积化和差得：cos(A+C)－cos(A－C)=－23，∴cos(A－C)=1,在△ABC中，A－C∈(－π,π)，∴A－C=0，A=C=60°，∴△ABC为等边三角形。证法二：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，∵b2=ac,∴a2+c2－2ac·cos60°=ac,即a2－2ac+c2=0,∴(a－c)2=0,∴a=c,所以△ABC为等边三角形。例7、在等差数列{an}中，若sp=q,sq=p,求：Sp+q（其中p≠q）分析：sp+q=（p+q）a1+]21)[(2)1)((1dqpaqpdqpqp,因此要求sp+q,关键要根据条件，计算出dqpa211的值，而由等差数列的求和公式可知，只要把sp=q,sq=p两式相减即可。解：∵sp=q,sq=p，∴qdpppa2)1(1(1)(1)－(2)得：qdqqqa2)1(1(2)（p-q）a1+)(2)1)((qpdqpqp又p≠q,∴p－q≠0，∴dqpa211=－1，∴sp+q=（p+q）a1+]21)[(2)1)((1dqpaqpdqpqp=（p+q）·(－1)=－(p+q)例8、等比数列的前n项和为sn，前2n项和为s2n，前3n项和为s3n，且sn=48,s2n=60，求s3n。分析：根据等比数列的性质：等比数列中每k项的和仍成等比数列，公比为qk,则sn、s2n－sn、s3n－s２n为等比数列，那么由sn、s2n的值就可以计算s3n了。解：∵数列{an}为等比数列，∴sn、s2n－sn、s3n－s２n也成等比数列，即48、60－48、s3n－60成等比数列，∴（60－48）2=48·（s3n－60），s3n=63例9、某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值。分析：这里是实际问题的运用，对于这类应用问题，我们首先要读懂题目，理解题意，在此基础上再把实际问题转化为数学问题来解决。如该题中主要问题是要分清楚原计划三年的产值成等差数列，变化后三年的产值成等比数列。解：由题意可知，原计划三年的产值成等差数列，变化后三年的产值成等比数列，设原计划三年的产值为x－d、x、x+d，则3x=300,x=100,又变化后三年的产值分别为：4x+10－d、x+10、x+11+d，它们成等比数列。∴（110－d）(111+d)=1102，∴d2+d－110=0，∴d=10或d=－11（舍去），∴原计划每年的产值分别为90、100、110（万元）。例10、一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32:27，求公差d。解法一：∵a1+a2+……+a12=354又∴a2+a4+a6+……+a12=a1+a3+a5+……+a11+6d∴2(a1+a3+……+a11)+6d=354,∴a1+a3+……+a11=177－3d又273231776161131113111311242ddaaadaaaaaaaaa∴,27531776dd∴5d解法二：由条件可知：354奇偶SS2732奇偶ss∴2732354偶偶ss∴192偶s162奇s又在等差数列中，因为项数12为偶数，所以dss6奇偶∴d6162192，d=5说明：解法二中运用了等差数列奇数项与偶数项的有关性质。若项数为偶数2n，则有ndss奇偶，若项数为奇数，则有nass奇偶这里的an为中间项。例11、已知数列na为等差数列，公差d≠0，na的部分项组成下列数列nkkkaaa,,21恰为等比数列，其中,11k,52k,173k求nkkk21。解：∵nka成等比数列，∴3122kkkaaa即17125aaa，设等差数列nka的首项为a1，公差d，则(a1+4d)2=a1(a1+16d)，∵d≠0，∴a1=2d,设等比数列nka的公比为q，5则324241115dddadaaaqnka是等比数列中的第n项，113nkaan，又nka是等差数列{an}的第kn项∴1121)1(akdkaannkn∴111321nnaak，∵01a∴1321nnk∴13)331(2121nnkkknnn.例12、数列n为等差数列，β为公差，数列nsin是等比数列，q为公比，求β和q.分析：此题已知条件为n成等差数列，nsin成等比数列，若根据等差、等比数列的性质，去讨论注意连续三项的关系较复杂，注意到此题仅要求公差β及公比q，我们可以通过讨论前三项的关系即可，这样就可以化一般为特殊，达到简化运算的目的。解：∵数列nsin为等比数列，∴1sin、2sin、3sin也成等比数列，∴3122sinsinsin∴)]cos()[cos(21)2cos1(2131312又数列n成等差数列，则213，2312，∴2cos2cos2cos122，12cos，k22，∴k，k∈Z，kkq)1(sin)sin(sinsin1112例13、已知f(x)=bx+1为x的一次函数,b为不等于1的常量,且g(n)=1n=0f[g(n－1)]n≥1⑴若an=g(n)－g(n－1),n∈N，求证：{an}为等比数列.⑵设Sn=a1+a2+……+an，求Sn.解：当n=1时，a1=g(1)－g(0)=f[g(0)]－g(0)=f(1)－1=b+1－1=b,当n2时，an=g(n)－g(n－1)=f[g(n－１)]－f[g(n－2)]=b·g(n－1)+1－b·g(n－2)－1=b[g(n－1)－g(n－2)]=ban-1,所以对于一切自然数n，均有baann1的数列{an}为公比是b的等比数列。6（2）sn=b+b2+···+bn=bbbn1)1(说明：解题的关键是要在理解复合函数抛念的基础上，充分运用已知条件中，首先把g(n)的表达式求出，然后再计算an。【每周一练】一、选择题：1、在等差数列{an}中，a2+a5=19,s5=40,则a10是（）A、80B、38C、29D、492、数列{an}中，a1=－60,an+1=an+3,n∈N则该数列前30项的绝对值的和是（）A、495B、765C、3105D、以上均不正确3、若互不相等的三个实数a、b、c成等差数列，且a、c、b成等比数列，则a:b:c等于（）A、1:2:3B、3:1:2C、4:1:2D、4:1:(-2)4、公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（）A、1B、2C、3D、45、凸n边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n等于（）A、9B、16C、9或16D、126、在等差数列中，Sn表示n项和，已知S5=28，S10=36，则S15等于（）A、44