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中小学教育资源交流中心提供高中同步测控优化训练(八)第二单元导数(二)(B卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.函数f(x)=x3－3x＋1在闭区间［－3,0］上的最大值、最小值分别是A.1,－1B.1,－17C.3,－17D.9,－19分析:本题考查利用导数研究函数最值的有关知识.可利用导数确定函数的单调性,借助函数的极值、端点值解决此类问题.解:f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x＋1),令f′(x)=0得x=－1或x=1(舍去).f(－3)=－17,f(－1)=3,f(0)=1,∴［f(x)］max=3,［f(x)］min=－17.答案:C2.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象,如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是O12xyy=fx()'OOOO11112222xxxxyyyyABCD分析:本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数的单调性.解:由f′(x)知x∈(－∞,0)时,f′(x)＞0,f(x)为增函数;x∈(0,2)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数;x∈(2,＋∞)时,f′(x)＞0,f(x)为增函数.只有C符合题意.答案:C3.已知函数y=ax3－15x2＋36x－24在x=3处有极值,则函数的递减区间为A.(－∞,1),(5,＋∞)B.(1,5)C.(2,3)D.(－∞,2),(3,＋∞)分析:本题考查函数极值与单调区间的确定.解:y′=3ax2－30x＋36.∵函数在x=3处有极值,∴y′|x=3=27a－90＋36=0.∴a=2.∴y=2x3－15x2＋36x－24,y′=6x2－30x＋36.中小学教育资源交流中心′＜0,即x2－5x＋6＜0,解得2＜x＜3.∴函数的递减区间为(2,3),故选C.答案:C4.函数y=ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则A.a=31B.a=1C.a=2D.a＜0分析:本题可以采用解选择题的常用方法——验证法.由y′=3ax2－1,当a=31时，y′=x2－1，如果x＞1则y′＞0,与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a＜0时，y′=3ax2－1恒小于0，则原函数在(－∞，＋∞)上是减函数.故选D.答案:D5.函数f(x)=x3＋x2－x在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是A.1，－275B.1，－2C.2，－275D.2，－2分析:本题考查闭区间上连续函数的最值求解的基本方法.它的求解过程可分两步:第一步，求(a,b)内的极值；第二步，比较各极值与端点值的大小，求得最值.解:∵f(x)=x3＋x2－x,∴f′(x)=3x2＋2x－1.令3x2＋2x－1=0,得x1=－1,x2=31.∵f(－2)=(－2)3＋(－2)2－(－2)=－2,f(－1)=1,f(31)=－275,f(1)=1,∴f(x)max=1,f(x)min=－2.答案:B6.给出下列四个命题:①当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值;②当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值;③当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值;④当f(x0)为函数f(x)的极值时，则有f′(x0)=0.其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.0分析:本题主要考查函数在一点导数为零与在这一点是否有极值的关系，即对于可导函数，f′(x0)=0是f(x0)为f(x)的极值的必要而不充分条件.不妨联系几个典型的例子来理解和掌握.解:例如f(x)=x3,f′(x)=3x2,当f′(x)=3x2=0时，x=0;当x＜0时,f′(x0)＞0,f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x＞0时，f′(x0)＞0,f(x)在(0，＋∞)上为增函数.故当x=0时，既不是极大值点，又不是极小值点.故①②③三个命题均不正确.对于函数f(x)=|x|,f(0)是它的极小值，但f(x)在x=0处不可导.故④也不正确.在解选择题时，找到一个符合题意的函数关系式，把抽象问题化归成具体问题是一种重要的解题策略.答案:D7.已知函数f(x)=x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极值为中小学教育资源交流中心极小值为0B.极大值为0,极小值为－274C.极小值为－275,极大值为0D.极小值为0,极大值为275分析:本题考查利用导数求函数的极值.关键是由条件列出p、q的关系式,确定函数关系式.解:f′(x)=3x2－2px－q,由(1,0)点在曲线上,∴1－p－q=0.①又当x=1时,f′(x)=0,∴3－2p－q=0.②由①②解得p=2,q=－1.∴f(x)=x3－2x2＋x,f′(x)=3x2－4x＋1.令f′(x)=0,解得x1=31或x2=1.列表如下:x(－∞,31)31(31,1)1(1,＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以极大值为f(31)=274,极小值为f(1)=0.答案:A8.若函数y=x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则A.0＜b＜1B.b＜1C.b＞0D.b＜21分析:本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解:极值点是导数为零的点.∵函数在(0，1)内有极小值，∴极值点在(0，1)上.令y′=3x2－3b=0,得x2=b,显然b＞0,∴x=±b.又∵x∈(0,1).∴0＜b＜1.∴0＜b＜1.答案:A9.如果函数y=f(x)=2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a等于A.6B.0C.5D.1分析:本题主要考查应用导数解决有关极值与参数问题.解:y′=f′(x)=6x2－6x,由于求极值，所以y′=0,即x2－x=0,解得x=0或1,列表如下:x(－∞,0)0(0,1)1(1,＋∞)y′＋0－0＋y增函数极大值减函数极小值增函数所以y极大=f(0)=a=6,故选A.答案:A10.路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m的人以2m/s的速率在地平面上，从路灯在中小学教育资源交流中心开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为A.207m/sB.247m/sC.227m/sD.21m/s分析:本题考查导数的应用.解:如图，设人从C点运动到B处路程为x,时间为t，AB为人影长度，AB长为y.ABCED北由于DC∥BE，则ACAB=CDBE，即xyy=86.1=51.∴y=41x=21t,∴v=y′=21m/s.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上)11.函数f(x)=x3－3x2＋7的极大值是__________.分析:本题考查利用求导的方法求函数的极值.解:f′(x)=3x2－6x.令f′(x)=0,得x=0或x=2.∵f(0)=7,f(2)=23－3·22＋7=3，∴当x=0时,f(x)极大值=7.答案:712.函数f(x)=x3－3x2－5的单调增区间是____________.分析:本题考查用导数法求函数的单调区间.据导数与函数单调性的关系，只要求f′(x)＞0的范围即可.如果它的单调区间是两部分或两部分以上，要注意它们之间不能用“∪”相连，也不能用“或”相连.解:y′=3x2－6x.由y′=3x2－6x＞0,得x＜0或x＞2,∴函数的增区间为(－∞,0),(2,＋∞).答案:(－∞,0),(2,＋∞)13.已知抛物线C:y=x2＋4x＋27,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.若C在点M处法线的斜率为－21,则点M的坐标为______.分析:本题考查导数的几何意义.抛物线上某点处切线的斜率即为其导数.解:抛物线C的函数表达式y=x2＋4x＋27的导数y′=2x＋4,C上点(x0,y0)处切线的斜率k0=2x0＋4.∵过点(x0,y0)的法线斜率为－21,中小学教育资源交流中心提供∴－21(2x0＋4)=－1.解得x0=－1,y0=21,故点M的坐标为(－1,21).答案:(－1,21)14.质量为5kg的物体运动的速度为v=(18t－3t2)m/s,在时间t=2s时所受外力为______N.分析:本题主要考查导数的物理意义即速度v(t)对时间的导数是该时刻的加速度.解:∵v′=18－6t,∴v′|t=2=18－6×2=6.∴t=2时物体所受外力F为6×5=30.答案:30三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题8分)设函数f(x)=x(x－1)(x－a)(a＞1),求导数f′(x),并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2.分析:本小题考查导数的应用.对函数f(x)求导,令f′(x)=0,求出根,判定区间单调性,进而求解.解:由f(x)=x［x2－(a＋1)x＋a］=x3－(a＋1)x2＋ax,∴f′(x)=3x2－2(a＋1)x＋a.3分令f′(x)=0,得方程3x2－2(1＋a)x＋a=0,因,1,04)1(42aaaa故方程有两个不同实根x1,x2.5分不妨设x1＜x2,由f′(x)=3(x－x1)(x－x2)可判别f′(x)的符号如下:当x＜x1时,f′(x)＞0;当x1＜x＜x2时,f′(x)＜0;当x＞x2时,f′(x)＞0.因此x1是极大值点,x2是极小值点.8分16.（本小题12分）已知函数y=ax与y=－xb在区间(0，＋∞)上都是减函数，确定函数y=ax3＋bx2＋5的单调区间.分析:本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=－xb的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3＋bx2＋5的单调区间.解:∵函数y=ax与y=－xb在区间(0,＋∞)上是减函数，∴a＜0,b＜0.3分中小学教育资源交流中心=ax3＋bx2＋5得y′=3ax2＋2bx.6分令y′＞0即3ax2＋2bx＞0,∴－ab32＜x＜0.8分因此，当x∈(－ab32,0)时，函数为增函数.9分令y′＜0即3ax2＋2bx＜0，∴x＜－ab32或x＞0.11分因此，当x∈(－∞,－ab32),x∈(0,＋∞)时，函数为减函数.12分17.(本小题10分)将数8分成两个非负数之和，使其立方和最小，求这两个数.分析:本题考查利用求导的方法求比较复杂函数的最值.解题的关键是建立目标函数，转化为求函数的最值.解:设一个数为x,则另一个数为(8－x),其立方和为y,则y=x3＋(8－x)3(0≤x≤8).4分∵y′=3x2－3(8－x)2=48(x－4)，令y′=0，得x=4,f(4)=128,8分又∵x∈［0,8］,f(0)=f(8)=512,∴ymin=y|x=4=128,即当两个数都为4时，其立方和最小.10分18.（本小题12分）设函数f(x)=ax3＋bx2＋cx在x=1,x=－1处有极值，且f(1)=－1,求a,b,c并求其极值.分析:此题是一道利用导数求函数的极值的题目.思维的方向属于逆向思维，需注意极值点与导数之间的关系.极值点为f′(x)=0的根.利用这种关系，列a,b,c的方程组求a,b,c的值，再进一步求f(x)的极值.解:∵f(x)=ax3＋bx2＋cx,∴f′(x)=3ax2＋2bx＋c.2分∵x=1,x=－1为方程f′(x)=0的根，∴.023,023cbacba4分又f(1)=－1,∴a＋b＋c=－1.③5分由①②③得a=21,b=0,c=－23.7分①②中小学教育资源交流中心提供∴f(x)=21x3－23x,f′(x)=23x2－