2013-7-91平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量的定义:既有大小,又有的量叫做向量.(2)向量的表示:把规定了起点A和终点B的线段,叫做有向线段,可以用有向线段AB→表示向量,有向线段的长度|AB→|表示向量的大小,也可记作AB→=a,若|a|=0,则a叫做零向量;若|a|=1,则a叫做.(3)向量相等与共线向量①相等向量:长度且方向相同的向量.②共线向量:表示两个非零向量a,b的有向线段所在的直线,则a∥b.零向量与任何向量平行,平行向量也叫做共线向量.2.向量的运算和运算律(1)向量的加法运算:作AB→=a,BC→=b,则a+b=AC→,向量的加法同时满足三角形法则和法则.(2)向量的减法运算:作OA→=a,OB→=b,则a-b=BA→.(3)向量的数乘运算:λa(λ∈R)表示一个向量,满足①|λa|=|λ||a|;②λ>0,λa与a同向;λ<0,λa与a反向;λ=0,λa=0.(4)数乘运算的运算律:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb3.两向量共线定理如果向量a≠0,则a∥b的充要条件是存在使b=λa.考向一平面向量的基本概念【例】1.下列各命题中,真命题的个数为()①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若AB→=DC→,则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.4B.3C.2D.12.下列命题中的真命题是()①a∥b⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb.②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a+λ2b=0.③a与b不共线⇔若λ1a+λ2b=0,则λ1=λ2=0.2④a与b不共线⇔不存在实数λ1,λ2使得λ1a+λ2b=0.A.①与③B.②与③C.①与④D.②与④3.下列说法中,正确的的个数为()①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若AB→=DC→,则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.4B.3C.2D.1考向二平面向量的运算与几何意义【例】1.D、E、F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则()A.AD→+BE→+CF→=0B.BD→-CF→+DF→=0C.AD→+CE→-CF→=0D.BD→-BF→-FC→=02.如右图所示,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e23.平面上点P与不共线三点A,B,C满足关系式PA→+PB→+PC→=AB→,则()A.CP→=2PA→B.AP→=2PB→C.PB→=2PC→D.BP→=2PC→4.在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设AB→=a,AC→=b,试用a、b表示AD→,AG→.5.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=.2013-7-93考向三向量共线充要条件的应用【例】1.已知非零向量e1和e2不共线.(1)如果AB→=e1+e2,BG→=2e1+8e2,CD→=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.2.若非零向量a,b,3a-2b的起点相同.试证其终点在同一直线上.3.试证明:若“P,A,B三点共线”,则“存在实数λ,μ使OP→=λOA→+μOB→且满足λ+μ=1”成立4.试证明:若“存在实数λ,μ使OP→=λOA→+μOB→且满足λ+μ=1”,则“P,A,B三点共线”成立平面向量的基本定理及其坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1,e2是一个平面内的两个向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使:a=λ1e1+λ2e2.其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的.2.平面向量的坐标表示(1)在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标.(2)起点为原点的向量,其终点坐标即为.3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),则λa=(λx1,λy1)4(2)向量坐标的求法:若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1)(3)平面向量共线与垂直的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b⇔;若a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.考向一平面向量基本定理的应用【例】1.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与AB→同向的单位向量是()A.35,-45B.-35,45C.-45,35D.45,-352.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是()A.-2B.0C.1D.23.在平面坐标系内,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:①直线OC与直线BA平行;②AB→+BC→=CA→;③OA→+OC→=OB→;④AC→=OB→-2OA→.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.44.下列各组向量中:①e1=(-1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5),e2=(6,10);③e1=(2,-3),e2=12,-34,其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是________.5.如右图,平面内有三个向量OA→、OB→、OC→,其中OA→与OB→的夹角为120°,OA→与OC→的夹角为30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23,若OC→=λOA→+μOB→(λ、μ∈R),则λ+μ的值为__________.6.如右图,在△ABC中,M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于P点,求AP∶PM的值.2013-7-95考向二平面向量的坐标运算【例】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.平面向量的数量积1.两个非零向量夹角的概念:已知非零向量a与b,作OA→=a,OB→=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.注意:当θ=0时a与b同向;当时,a与b反向;当θ=π2时,a与b垂直,记a⊥b;2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积,记作a·b,即有a·b=.3.“投影”的概念:叫做向量b在a方向上的投影.4.数量积的的几何意义:数量积等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.5.平面向量数量积的性质:设两个非零向量a,b(1)a⊥b⇔.(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|.特别的a·a=或|a|=a·a.(3)|a·b|≤|a||b|.6.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b),λ为实数;(3)(a+b)·c=.7.平面向量数量积的坐标表示:考向一向量数量积的运算6【例】1.在边长为1的等边△ABC中,设BC→=a,CA→=b,AB→=c,则a·b+b·c+c·a=()A.-32B.0C.32D.32.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a·b夹角的余弦值等于()A.865B.-865C.1665D.-16653.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=()A.0B.22C.4D.84.两个非零向量a、b互相垂直,给出下列各式:①a·b=0;②a+b=a-b;③|a+b|=|a-b|;④|a|2+|b|2=(a+b)2;⑤(a+b)·(a-b)=0.其中正确的式子有()A.2个B.3个C.4个D.5个5.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=________.6.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为().A.π6B.π3C.π2D.2π37.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是________.8.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为().A.2-1B.1C.2D.29.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量.若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是________.10.(1)证明:(a-b)2=a2-2a·b+b2;(2)设a、b是夹角为60°的单位向量,求①|2a+b|、|3a-2b|;②〈2a+b,3a-2b〉.11.已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c与向量a的夹角.2013-7-97考向二向量与平面几何【例】1已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0.若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立,则m=().A.2B.3C.4D.52.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA→+3PB→|的最小值为________考向三向量在物理中的应用【例】质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为()A.27B.25C.2D.6