高中数学-二次函数-精华讲义

高中数学二次函数专题第1页共6页二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。基础知识回顾1.给出函数表达式2fxaxbxc，首先需要考虑a是否等于0，若0a，则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2(0)yaxbxca2）顶点式：2()(0),)yaxhkahk此时二次函数的顶点坐标为(；3）分解式：12()()yaxxxx其中1x、2x是二次函数的与x轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线122xxx.3.二次函数的图像与性质①开口方向：当0a，函数开口方向向上；当0a，函数开口方向向下；②对称轴：2bxa；③顶点坐标：（2ba，244acba）；若图象与x轴有两个交点，分别为11(,0)Mx，22(,0)Mx，则12MM=12xx=a.④增减性⑤最值()xR：当0a时，函数有最小值，并且当2bxa，miny=244acba；当0a时，函数有最大值，并且当2bxa时，2max44acbya；⑥与x轴的交点个数：当24bac0时，函数与x轴有两个不同的交点；0时，函数x轴没有交点；=0时，函数与x轴有一个交点.4.二次函数根的由来——配方法对20(0)axbxca进行配方，变换为20bcxxaa，由于完全平方是：2222aabbab即高中数学二次函数专题第2页共6页2222()xaxaxa，所以要变换为22222044bbbcxxaaaa，变换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.∴222224()244bbcbacxaaaa.从而得到，在240bac时有解，242bbacxa；若240bac，此时无解.5.有关一元二次方程判别式24bac，联系韦达定理1）0有两个不等实根；=0表示有两个相等实根，0表示没有实数根，实际就是2,0xapp的情况.2）a、c异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负.3）a、b异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0.4）a、b同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0.6.对于2yx的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，1x时，曲线变化缓慢，比yx要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随x的绝对值增大而增加.2)图象关于y轴对称.3)(0,0)是图象的拐点，(,0]上是减函数，(0,)上是增函数.4)图象与x轴只有一个交点（0,0）。5)图象的最小值为0，无最大值.延伸至2(0)yaxa：a的大小，不考虑a的正负.a越大，开口越小；a越小，开口越大.∵a越大，说明对于同样的x值，y值越大，图象更靠上或靠近y轴，所以开口越小.7.抛物线的平移类型一：求平移后抛物线的解析式例：抛物线23(1)3yx先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，求平移后的解析式.解：23(1)2yx类型二：求平移前抛物线的解析式例：抛物线2()yaxhk向左平移5个单位又向下平移4个单位长度后得到21(2)32yx，则原抛物线解析式为.解：由原题意得：52h，43k，∴3h，1k，而a值不变，故21312yx.类型三：已知平移前后抛物线的表达式，求平移过程高中数学二次函数专题第3页共6页例：将抛物线223yxx经过怎样的平移得到247yxx?解：将平移前后两个表达式分别配成顶点式得：214yx和223yx，观察h和k可知，向右平移三个单位，向上平移7个单位.口诀：左加右减，上加下减.8.通过图象判断a、b、c的关系①开口方向定a的符号；a值定开口大小，a越小，开口越大；a越大，开口越小.②a与b的组合确定对称轴在x方向的移动，移动到2bxa.③与x轴仅有一个交点，说明能够配成完全平方形式，即2yaxb.④如顶点是00,xy，一定能表述为200yykxx的形式.⑤单调区间以对称轴为界两边严格单调，开口方向，决定递增递减.⑥2yaxc是偶函数，其他不是，其他能通过平移变换为偶函数，但本身不一定是偶函数.高中数学二次函数专题第4页共6页重点难点1.二次方程20fxaxbxc的实根分布及情况一般是先画出草图，然后从、对称轴和特殊点这三个角度列出不等式求解.注意数形结合的思想，通过图象能更直观地理解考题，提高解题速度和正确率.2.二次不等式的转化策略1）二次不等式20fxaxbxc的解集是：12(,][,)xx0a且120fxfx；2）当0a时，12fxfx1222bbxxaa；当0a时，12fxfx1222bbxxaa.3）若二次函数()yfx恒满足fxmfxn，则其对称轴为2mnx.4）在解一元二次不等式时要注意反过来时的问题，尤其是一元二次不等式的解集是和R的情况的等价命题：20axbxc的解集是R00a或00abc，20axbxc的解集是R00a或00abc.高中数学二次函数专题第5页共6页方法突破一、二次函数2(0)yaxbxca在[,]mn上的最值（值域）1.当,2bxmna时，244acba是它的一个最值，另一最值在区间端点处取得；当,2bxmna时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.2.含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合开口方向及单调性进行分类讨论求解.例（1）已知2()43fxxx，分别求其在区间[0,5]和[2,0]上的值域；（2）已知函数22442yxaxaa在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.二、与二次函数有关的综合问题“三个二次”—二次函数与一元二次方程、一元二次不等式.二次函数是“三个二次”的核心，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒等式）问题是高考命题的热点.例若二次函数2()(0)fxaxbxca满足(1)()2fxfxx，且(0)1f.(1)求()fx的解析式；(2)若在区间[1,1]上，不等式()2fxxm恒成立，求实数m的取值范围.三、相关类型题目1.当(1,2)x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.2.设nN，一元二次方程240xxn有整数根的充要条件是n.3.已知函数224,0,()4,0,xxxfxxxx若2(2)()fafa，则实数a的取值范围是（）A.(,1](2,)B.(1,2)C.(2,1)D.(,2)(1,)高中数学二次函数专题第6页共6页4.若二次函数()(1)()fxxxa为偶函数，则a=.5.设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()fxx.若对任意的[,2]xtt，不等式()2()fxtfx恒成立，则实数t的取值范围是（）A.[2,)B.[2,)C.(0,2]D.[2,1][2,3]四、函数的不动点一题例对于函数()fx，若存在0xR，使00()fxx，则称0x是()fx的一个不动点已知函数2()(1)(1)(0)fxaxbxba，（1）当1,2ab时，求函数()fx的不动点；（2）对任意实数b，函数()fx恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()yfx的图象上A,B两点的横坐标是()fx的不动点，且A，B两点关于直线2121ykxa对称，求b的最小值.总结：学习二次函数，可以从两方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图象特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学学习中一种非常重要的思想方法.