高三复习数学归纳法

1数学归纳法编写人：雷州八中高三数学组审稿人：2014/3/3【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2.掌握数学归纳法证明问题的方法。3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【重点、难点】重点：数学归纳法。难点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【自主探究】1、数学归纳法是用来证明与正整数有关的数学命题的一种方法。2、数学归纳法的基本步骤是：（1）（猜想）（2）（归纳奠基）验证：n=1时，命题成立。（3）（归纳递推）在假设当n=k(k≧1)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时，命题成立。根据（1）（2）（3）可证明命题对一切正整数n都成立。【合作探究】1、用数学归纳法证明：12+22+…n2=(1)(21)6nnn(n是正整数)证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1236=1,等式成立.（2）假设当n=k时等式成立,即12+22+…k2=(1)(21)6kkk.则当n=k+1时，由假设12+22+…+k2+(k+1)2=(1)(21)6kkk+(k+1)2=32291366kkk=3222361366kkkk=2(32)(23)6kkk=(1)(2)(23)6kkk=(1)(1)12(1)16kkk即当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)知对于n∈N+等式成立.2反思：在数学归纳法中最困难的一步是证明当n=k+1时命题也成立，分析n=k+1命题是什么，并找出与n=k时命题形式的差别，弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握代数变形的常用方法：乘法公式、因式分解、配方、添项、拆项、放缩等。2、已知数列1111,,,,2558811(31)(32)nn猜想Sn的表达式,并证明.（试值S1,S2,S3,S4→猜想Sn）→用数学归纳法证明。解：小结：讨论如何直接求此题的Sn.（裂项相消法）→探索性问题的解决过程(试值→猜想→归纳→证明).3、比较2n与n2的大小解：n=1时2112即2nn2，n=2时22=22即2n=n2n=3时3223即22nn，n=4时4224即22nnn=5时5225即22nn，n=6时6226即22nn（1）猜想：当n5时,22nn下面用数学归纳法证明：（2）当n=5时，由上已知，猜想正确.（3）假设n=k(5k)时，猜想正确.即22kk当n=k+1时,122222222221(1)kkkkkkkk,即n=k+1时，猜想也正确。由（1）（2）（3）知n5时,22nn【对抗质疑】用数学归纳法证明不等式21nnn（nN*），某学生的如下证明过程是否正确？3（1）211111n当时，,不等式成立。（2）假设)(*Nkkn时不等式成立，即,12kkk时则当1kn1)1()2()2()23(23)1(12222kkkkkkkkk时，1kn不等式成立。由上述（1）．（2）得原不等式成立。分析：上述的证明方法表面上似乎是“数学归纳法”，其实不是。因为第二步由n=k推导n=k+1时没有用到归纳假设来证明不等式成立，数学归纳法的实质在于递推，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“1kn”时的命题。【巩固提高】1、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=aan112，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是（C）(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a32、用数学归纳法证明不等式“),2(12131211*Nnnnn,的过程中，当由kn变到1kn时，左边增加了（C）(A)1项(B)k(C)k2项(D)12k项3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明)214121(2114131211nnnn时，若已假设2(kkn为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（B）A．1kn时等式成立B．2kn时等式成立C．22kn时等式成立D．)2(2kn时等式成立44、数列na中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（B）A．1212nnB．1212nnC．nnn2)1(D．1－121n5、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。解：(1)a1＝23,a2＝47,a3＝815猜测an＝2－n21？(2)①由（1）已得当n＝1时，命题成立；②假设n＝k时,命题成立，即ak＝2－k21,当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－k21,ak＋1＝2－121k,即当n＝k＋1时,命题成立.由上述①、②得命题成立。【方法小结】：数学归纳法是一种通过“有限”的步骤，证明与自然数有关的“无限”数学命题成立的方法，可以证明与自然数n有关的恒等式、不等式、数列通项公式、几何计数问题、整除性问题等等。