高三复习第五讲立体几何

1高三数学总复习复习---------立体几何一、知识要点1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条，三垂线定理。2．线面垂直判断线面垂直的方法：直线与平面垂直的判定定理，直线和平面垂直的性质定理。3．面面垂直两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）4．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角。（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：cosSS(S为原斜面面积,S为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2．空间的距离（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为nm:，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为nm:．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法（2）异面直线间的距离：异面直线ba,间的距离为ba,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线ba,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的2距离就是异面直线ba,间的距离．③找或作出分别过ba,且与b，a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线ba,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。二、学习要求1、加强几何直观立体几何问题以“直观图”“三视图”等形式呈现几何直观，注意空间想象能力的培养，尤其是认识图，理解图，应用图的能力，实现“空间图形”与其“直观图”“三视图”的相互转化。在试题设计上，通常有1—2道选择题或填空题，常见题型为（1）与三视图结合，考查几何体的表面积或体积等问题，（2）平行垂直关系的判定以及符号语言的理解和使用。2、几何证明有所削弱，但平行与垂直关系仍是问题的主线线线，线面，面面平行和垂直关系是最重要的空间位置关系，仍然是高考考查的重点，在试题设计上，解答题常以多面体和旋转体为载体，考查平行垂直关系，以及角的计算，同时应适度关注有关位置关系的探索性问题。3、重视向量方法在立体几何计算问题中的应用由于平面几何和高中立体几何对平行垂直关系的证明要求有所削弱，有关线面角，二面角侧重于用向量方法，要求考生（1）会根据题目特点，建立适当的空间直角坐标系，求出所研究各点的坐标，进而求出相关几何量的坐标，（2）会用数量积研究两条直线的夹角和线段长度的计算问题，（3）会用向量的线性运算研究向量的共线问题，进而解决平行垂直关系以及空间中角的计算和两点间的距离问题。三、立体几何中的垂直与角1.面直线所成的角的概念及其取值范围a．异面直线所成的角的定义中，异面直线a和b所成的角和a与b所成的锐角（或直角）相等，但与点O的位置无关，因此在解具体问题时，可将点O取在a或b上，或者取几何体中具有特殊性的点．b．要明确过空间一点O，引直线a的平行线的方法和依据．因为Oa，所以点O和a确定一个平面，在面内过点O作aa∥，作bb∥．c．两条异面直线互相垂直，它们所成的角为90°，今后再说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．d．异面直线所成的角的范围是090≤≤2.面角［思路点拨］：找垂面→找垂线→找PQ的射影→指出角→计算3．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.4．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.5．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面6.求点到面的距离------等体积法四、经典题例：例1如图所示，长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm,5cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？3例2、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，AD＝2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点．(1)证明：DE⊥平面A1AE；(2)证明：BM∥平面A1ED.针对训练：如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE.立体几何常考考点及证明题举例考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角1、已知四边形ABCD是空间四边形，,,,EFGH分别是边,,,ABBCCDDA的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考点：线面垂直，面面垂直的判定2、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。AHGFEDCBAEDBC4考点：线面平行的判定3、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，求证：1//AC平面BDE。考点：线面垂直的判定4、已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１)C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．考点：线面垂直的判定6、正方体''''ABCDABCD中，求证：（1）''ACBDDB平面；（2）''BDACB平面.A1ED1C1B1DCBASDCBAD1ODBAC1B1A1C5考点：线面平行的判定（利用平行四边形）7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形8、四面体ABCD中，,,ACBDEF分别为,ADBC的中点，且22EFAC，90BDC，求证：BD平面ACD考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）9、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定10、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.（1）求证：1//AC平面BDE；（2）求证：平面1AAC平面BDE.A1AB1BC1CD1DGEF6考点：线面垂直的判定,构造直角三角形11、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点．（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．考点：线面垂直的判定15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．如图所示，正四棱柱1111ABCDABCD中，底面边长为22，侧棱长为4．EF，分别为棱ABBC，的中点，EFBDG．⑴求证：平面1BEF平面11BDDB；⑵求点1D到平面1BEF的距离d；⑶求三棱锥11BEFD的体积V．D1C1B1A1GFEDCBA