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第8讲轨迹与方程考纲要求考点分布考情风向标1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程.2.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程2013年新课标Ⅰ第21题(1)考查椭圆方程的求法(定义法)；2014年新课标Ⅰ第20题(1)考查求椭圆的轨迹方程；2016年新课标Ⅲ第20题考查抛物线的轨迹方程求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查理解解析几何问题的基本思想方法和能力.备考时要关注以下几点：(1)能够利用定义或待定系数法求椭圆、双曲线及抛物线的方程.(2)能够利用相关点法、参数法等求动点的轨迹方程求轨迹方程的常用方法直接法待定系数法定义法相关点法参数法将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程已知所求曲线的类型，求曲线方程.先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，则用定义直接探求动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得到普通方程1.(2016年广东珠海模拟)已知B(－2,0)，C(2,0)，A为动点，△ABC的周长为10，则动点A满足的方程为()A.x26＋y25＝1(x≠±2)B.x29＋y25＝1(x≠±3)C.x29＋y24＝1(x≠±3)D.x28＋y24＝1(x≠±2)解析：∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，B(－2,0)，C(2，0)，∴|AB|＋|AC|＝6|BC|.∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与B，C共线二顶点)，且2a＝6，c＝2.∴b2＝a2－c2＝5.答案：B∴动点A的轨迹方程为x29＋y25＝1(x≠±3).故选B.示的曲线是()ACBD2.(2016年云南玉溪期末)方程(x＋y－1)x2＋y2－4＝0所表答案：D解析：原方程等价于x＋y－1＝0，x2＋y2≥4或x2＋y2＝4.其中当x＋y－1＝0时需x2＋y2－4有意义，等式才成立，即x2＋y2≥4.此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分.故选D.3.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程为_________.y2＝8x的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为___________.4.(2017年天津河西区质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)解析：∵双曲线的渐近线y＝±bax，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，∴|2b|a2＋b2＝3，则b2＝3a2.①又双曲线的一个焦点为F(2,0)，∴a2＋b2＝4.②联立①②，解得a2＝1，b2＝3.故所求双曲线的方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝1考点1利用直接法求轨迹方程例1：如图7-8-1，已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.图7-8-1×解：方法一(直接法)，设点M的坐标为(x0，y0)，则点A的坐标为(2x0,0)，点B的坐标为(0,2y0)，kCA＝22－2x0，kCB＝2－2y0.2因为直线CA垂直于直线CB，所以kCA·kCB＝22－2x02－2y02＝－1.化简，得x0＋y0－2＝0.所以点M的轨迹方程为x＋y－2＝0.方法二(参数法)，若CA⊥x轴，则CB⊥y轴，故点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,2)，所以点M的坐标为(1,1).若CA不垂直于x轴，则设直线CA的方程为y－2＝k(x－2)，则点A的坐标为2－2k，0.直线CB的方程为y－2＝－1k(x－2)，则点B的坐标为0，2＋2k.两式相加，得x0＋y0＝2，即x0＋y0－2＝0(x0≠1).又点(1,1)在直线x0＋y0－2＝0上，所以点M的轨迹方程为x＋y－2＝0.方法三(定义法)，观察图象，显然|OM|＝|AB|2＝|CM|，即点M到点C，O的距离相等，故点M在线段OC的垂直平分线上.设点M的坐标为(x0，y0)(x0≠1)，则有x0＝1－1k，y0＝1＋1k.又线段OC的垂直平分线过OC中点(1,1)，斜率k＝－1，即y－1＝－(x－1)，化简，得x＋y－2＝0.所以点M的轨迹方程为x＋y－2＝0.【规律方法】求轨迹的步骤是“建系、设点、列式、化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系.【互动探究】的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_______________.1.已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)解析：由抛物线y2＝8x，可得p2＝2，故其准线方程为x＝－2.由题意可得双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.又双曲线的离心率为2，∴ca＝2.∴a＝1.∴b2＝c2－a2＝3.∴双曲线的方程为x2－y23＝1.x2－y23＝1考点2利用定义法求轨迹方程例2：(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，①动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________；②若动圆M同时与圆C1及圆C2相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________；③若动圆M与圆C1外切及圆C2相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________；④若动圆M与圆C1内切及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.解析：如图D48，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得图D48|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8.理可得后面三个小题.设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1).同答案：①x2－y28＝1(x≤－1)②x2－y28＝1(x≥1)③x24－y25＝1(x≥2)④x24－y25＝1(x≤－2)(2)①(由人教版选修11P427改编)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P，则动点P的轨迹是()A.圆C.双曲线B.椭圆D.抛物线解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|.由椭圆的定义知，点P的轨迹是椭圆.答案：B②(由人教版选修11P545改编)已知圆(x＋2)2＋y2＝1的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是()A.圆C.双曲线B.椭圆D.抛物线解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴||PM|－|PN||＝||PM|－|PA||＝|AM|＝1|MN|.由双曲线的定义知，点P的轨迹是双曲线.答案：C【互动探究】2.(2016年江苏盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝1解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16.∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆.则2a＝16，2c＝8.∴a＝8，c＝4.∴b2＝a2－c2＝48.故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.故选D.答案：D＋＝1.3.已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，则动圆圆心M的轨迹方程为_____________.解析：设动圆M半径为r，根据两圆相切的充要条件，得|MB|＝8－r，|MA|＝r，所以|MA|＋|MB|＝8.这表明动点M到两定点A，B的距离之和是常数8，根据椭圆的定义，动点M的轨迹为椭圆，这里a＝4，c＝3，则b2＝7.设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x216y27＋＝1.x216y274.已知动圆M与圆C1：(x－3)2＋y2＝64内切，与圆C2：(x＋3)2＋y2＝4外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解：设动圆M的半径为r，根据两圆相切的充要条件，得|MC1|＝8－r，|MC2|＝2＋r.所以|MC2|＋|MC1|＝10.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之和是常数10.根据椭圆的定义，动点M的轨迹为椭圆，即2a＝10，a＝5.又|C1C2|＝6＝2c，则c＝3，b2＝a2－c2＝16.设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x225＋y216＝1(x≠－5).考点3利用相关点法求轨迹方程点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上两个不同的动点.求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.例3：已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，解：由题设知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2).②联立①②，解得x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx.③则x≠0，|x|＜2.而点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.【互动探究】5.已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A.x2＝2y－1B.x2＝2y－116C.x2＝y－12D.x2＝2y－2解析：把抛物线方程y＝14x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1).设P(x0，y0)，PF的中点M(x，y).答案：A由中点坐标公式，得x＝x02，y＝y0＋12.∴x0＝2x，y0＝2y－1.又∵P(x0，y0)在抛物线y＝14x2上，∴2y－1＝14(2x)2.即x2＝2y－1.故选A.思想与方法⊙轨迹方程中的分类讨论例题：(由人教版选修11P35例3改编)已知动点P(x，y)与两个定点M(－1,0)，N(1,0)的连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状.解：(1)由题设知，PM，PN的斜率存在且不为0，所以yx＋1·yx－1＝λ，即x2－y2λ＝1(y≠0).(2)讨论如下：①当λ0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1λ0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴上的两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆[除去点(－1,0)，(1,0)]；④当λ－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴上的两个端点).(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49，【互动探究】6.(人教版选修11P35例3)设点A，B的坐标分别为(－5,0)，求点M的轨迹方程.解：设点M的坐标为(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝yx＋5(x≠－5).同理，直线BM的斜率kBM＝yx－