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课时作业(三十九)一、选择题1．(2013年临沂期中)设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题是()A．若a，b与α所成角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥α，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析：对于A，a与b可以平行，可以相交，也可以异面；对于B，a与b平行或异面；对于C，α与β平行或相交；选项D正确．答案：D2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．答案：D3．(2012年长春模拟)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a∥cb∥c⇒a∥b②a∥γb∥γ⇒a∥b③α∥cβ∥c⇒α∥β④α∥γβ∥γ⇒α∥β⑤α∥ca∥c⇒α∥a⑥a∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是()A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④解析：①④正确．②错在a、b可能相交或异面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内．答案：C4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：对于A：若l⊥m，m⊂α，则l⊂α可能成立，l⊥α不一定成立，A错误；对于B：若l⊥α，l∥m，则m⊥α，正确；同理对于C、D可判定错误．答案：B5．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解析：∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，∴EH∥B1C1.∴EH∥平面BCGF.∵FG⊂平面BCGF，∴EH∥FG，故A对．∵B1C1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，∴B1C1⊥EF，则EH⊥EF.由上面的分析知，四边形EFGH为平行四边形，故它也是矩形，故B对．由EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C对，选D.答案：D6．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线()A．只有1条B．只有2条C．只有4条D．有无数条解析：据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．答案：A二、填空题7．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m、n也可能异面，故为假命题．答案：②8．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.解析：由面面平行的性质可知①成立；由线面平行的性质可知③成立．答案：①或③9．已知m、n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线；②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.上面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：①由m∥α，则m与α内的直线无公共点，∴m与α内的直线平行或异面，故①不正确．②α∥β，则α内的直线与β内的直线无共点，∴m与n平行或异面，故②不正确．③④正确．答案：③④三、解答题10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1.(1)求证：CN∥平面AMD；(2)求该几何体的体积．解：(1)证明：∵ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴BC∥平面AMD.又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，又∵BC∩NB＝B，所以平面BNC∥平面AMD，∵CN⊂平面BNC，故CN∥平面AMD.(2)连接AC、BD，设AC与BD交于O点，∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，又NB⊥平面ABCD，∴AO⊥NB，又∵NB∩BD＝B，∴AO⊥平面MDBN，因为矩形MDBN的面积S＝MD×BD＝2，AO＝AC2＝22，所以四棱锥A－MDBN的体积V＝13S·AO＝23×22＝13.同理四棱锥C－MDBN的体积为13，故该几何体的体积为23.11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别为B1C1、C1D1的中点．(1)求证：四边形BDFE是梯形；(2)求证：平面AMN∥平面EFDB.证明：(1)连接B1D1.在△B1D1C1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，∴EF綊12B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1是矩形，∴BD綊B1D1，∴EF綊12BD.∴四边形BDFE是梯形．(2)在△A1B1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥B1D1，由(1)知，EF∥B1D1，∴MN∥EF.在正方形A1B1C1D1中，F为C1D1的中点，M为A1B1的中点，∴FM綊A1D1，而正方体的侧面ADD1A1为正方形，∴AD綊A1D1，∴FM綊AD，∴四边形ADFM为平行四边形，∴AM∥DF.又∵AM∩MN＝M，EF∩FE＝F，∴平面AMN∥平面EFDB.12．如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解：解法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊12EC，∴四边形OMBF为矩形，∴BM∥OF，又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．解法二：如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．[热点预测]13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝12，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等解析：由AC⊥平面DBB1D1可知AC⊥BE.故A正确．EF∥BD，EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．A到平面BEF的距离即为A到平面DBB1D1的距离为22，且S△BEF＝12BB1×EF＝定值，故VA－BEF为定值，即C正确．答案：D14．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1.答案：M∈线段FH15．如图，四面体ABCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明：证法一：如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F、H分别是AB、AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴BKBH＝23.又据题设条件知，BEBG＝23，∴BKBH＝BEBG，∴EK∥GH.∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.证法二：如图，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，∴FH綊12BC，EN綊12BC，∴FH綊EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF；∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.