高教热统答案第七章

第七章玻耳兹曼统计习题7.1根据公式lllVaP证明，对于非相对论粒子：)()2(21222222zyxnnnLmmps，zyxnnn,,=0，±1，±2，…有VUp32,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。证：lllVaP=)()2(212222zyxllnnnLmVa=)()2(222223zyxllnnnLmLVa其中Vaull;V~3Lp)()2(21222232zyxllnnnVmVa(对同一l,222zyxnnn)=mall212)2()(222zyxnnn)32(35V=mall2122222)()2(Lnnnzyx)32(3532VV=VU32习题7.2试根据公式lllVaP证明，对于极端相对论粒子：21222)(2zyxnnnLccp，zyxnnn,,=0，±1，±2，…有VUp31,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。证：lllVaP；对极端相对论粒子21222)(2zyxnnnLccp类似得31212)()2(VnVaPill=VUVValll31)31(3431习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第l个能级的能量可以取为ll或，以表示二者之差ll。试证明相应的配分函数存在以下关系11ZeZ，并讨论由配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。证：配分函数leZl1111*ZeeeZlll以内能U为例，对Z1:1lnZNU对Z1*:UNeNZNUZ1lnln1**习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为sPsPsNkSln式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，1ZeNePsss,s对粒子的所有量子态求和。证法一：出现某状态s几率为Ps设S1,S2,……Sk状态对应的能级s；设Sk+1,Sk+2,……Sw状态对应的能级s；类似………………………………；则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计NePsS；显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，SeNPS。于是Se代表处于S状态下的粒子数。例如，对于s能级KSSSSe1个粒子在s上的K个微观状态的概率为：kSSSseSSPPSP1粒子数类似写出：kSSSseSPSP1………………………………………………等等。于是N个粒子出现某一微观状态的概率。SSSSPPkSSSseSP1kSSSseSP1一微观状态数P1，（基于等概率原理）lnkSWSKSSSkSSSSeSeSPPkS111lnkKWKSSSSSSSSPePe11lnln将SeNPS带入SSSPPkNSln；习题7.5固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混合熵为kS㏑)1ln()1(ln!)1(!!xxxxNxNNNx其中N是总原子数，x是A原子的百分比，（1-x）是B原子的百分比。注意x1，上式给出的熵为正值。证：显然!)1()!(!!!!21xNNxNnnNS=k㏑=-Nk)1ln()1(lnxxxx=)1()1(lnxxxxNk；由于)1()1(xxxx＜1，故0S；原题得证。习题7.6晶体含有N个原子。原子在晶体中的正常位置如图中O所示。当原子离开正常位置而占据图中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷叫做弗伦克缺陷。(1)假设正常位置和填隙位置数都是N，试证明由于在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于)!(!!ln2nNnNkS；(2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u。试由自由能F=nu-Ts为极小值证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为n≈kTuNe2(设nN)证：(1))!(!!)!(!!lnlnnNnNnNnNkkS=)!(!!ln2nNnNk(2)略，参见ex7.7习题7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N表示晶体中的原子数，n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，温度为T时n≈kTWNe(设nN)其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。证：TSUF,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n个空位需要能量nWU；lnks,而在N个格点上形成n个空位，其可能的状态数!)!(!nnNN!ln)!ln(!lnlnnnNN;利用)1(ln!lnmmm)1(ln1)ln()()1!(lnlnnnnNnNNN)1(ln]1))[ln(()1(lnnkTnnNnNkTNkTNnWF利用自由能判据0nF)1()1(ln)1)((]1)1[ln(0nkTnnkTnnNnNkTnkTW0ln)ln(nkTnNkTW,)(kTWenNnNn；kTWNen。习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为e2022)(2ppppmxyx3LdpdpVdpzyx证：设能级l这样构成：同一l中，Pz相同，而Px与Py在变化，于是有：)3(0)2(0)1(0lzlzllllllapappaaEaaN(0papplz)参照教材玻耳兹曼分布证明；有ENln-zp,其中）（22221Zyxlpppm由(1)知:NdpdpdpehVzyxpz3将l代入并配方得:zyxppmdpdpdpehVzzyx)2()(32=NdpdpdpehVzyxmpmmzyx2)(2)()22(3其中mpmpyyxx2,222对比page238式（7.2.4）得：232232)2()2()2(2mkThnmkThVNem整个体积内，分布在zzzyyyxxxdpppdpppdppp,,内分子数为：zyxzyxzyxmpmdpdpdppppfdpdpdpemkTNzyx),,()21(2)(2)(23由条件（3）知0),,(Npdpdpdppppfpzyxzyxz计算得zmpmzyxdpemmpdpedpemkTzyx2)(223)()21(=zmpmyxdpemdpdpemkTzyx2)(2)(23)()21(=0pNdpdpfdpmzyx0pm代入得出分布：3)(22022hdpdpVdpezyxppppmzyx其中22'm,0pm习题7.9(略)结合（7.8）求平均值。习题7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率v，最概然速率mv和方均根速率sv。解：对于二维情形，)(2122yxppm（准）连续能量下的简并度：shdpsdpyx;2面积玻耳兹曼分布：yxppkTmdpdpehsyx)(21222；利用kTmNehsNmehsNdpdpehsyxppmyx22422)(2222yxvvkTmdvdvekTmNyx)(222)2(:速度分布率进而推出速率分布：vdvekTNmkTmv22习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度12vvvr和相对速率rrvv的概率分布，并求相对速率的平均值rv。解：两分子的相对速度rv在rzryrxdvdvdv内的几率2122111])()()()[(23211)()2()()()(2212121212121kTmedvdvdvekTmvVvVvdvVrxrzzryyrxxzyxvkTmzyxvvvvvvvvvkTmrr同理可求得zyvv11,分量为2122)(2kTmeryvkTm和2122)(2kTmervkTm22232332222)(81)()2()(rrvkTmvkTmrrekTmkTmkTmevV引进2m，速度分布变为rrvkTmdvvekTr22232)2(利用球极坐标系可求得速率分布为：rrvkTmdvvekTr22232)2(4相对速率平均值vkTdvvevkTvrrvkTmrrr28)2(4220232习题7.12试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为222)(23)(),83()(kTeemkTvv解：22222)2()(vvvvvvvv；222)(（略）习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于v与dvv之间的分子数为：dvvekTmndkTmv322/32)2(证：在斜圆柱体内,分速度为zv的v方向的分子数为:dtdsvVVvvvnfdnzzyx;),,(*圆柱dsdtdvdvdvvekTmndsdtnfvdnzyxzvvvkTmzzyx)(22/3*222)2(对于:0,,积分得从对从zyxvvvdt时间碰撞到ds面积上的分子数（dvvv）0)(22\3*222)2(dsdtdvdvdvvekTmnnzyxzvvvkTmzyx=dsdtddvdvekTmnkTmvcos)2(2/032202\32得到：若只计算介于dvvv分子数则为：（只对,积分）dvvekTmnnvkTm322/3*2)2/1(2)2(dvveTkmnkTmv322/32)2(习题7.14分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。解：dvvekTmndvvekTmnvkTnvvkTm3022/30422/322)2()2(；变量代换dxmkTdvxnkTm2;2045/22/32)2()2(dxxemkTkTmnx;)8/3()2()2(2/52/3mkTkTmn0322/33022/322)2()2()2(dxxemTkkTmndvvekTmnxTkmv)2/1()2()2(22/3mkTkTmn略类似求,;892/1)2()8/3(2/1svmkTmkTv习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：bxaxpppmzyx2222)(21其中ba,是常数，求粒子的平均能量。