高数(上册)期中试卷(同济)

共9页第1页浙江农林大学2012-2013学年第一学期期中考试卷课程名称：微积分Ｉ课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。2、考试时间120分钟。一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共30分）1．函数f(x)=2x+ln(3-x)的定义域是()A．[-3,2]B．[-3,2)C．[-2,3)D．[-2,3]2.下列函数中为奇函数的是（）A.()2xxeefxB.()2xxeefxC.3()cosfxxxD.5()sinfxxx3.11lim(sinsin)nnnnn（）A.-1B.0C.1D.∞4.当x→0时，下列函数哪个是x的高阶无穷小?()A.sinxxB.ln(x+1)C.1－cosxD.1x1x5.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim1xffxx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为()A.1B.0C.-1D.-26．已知函数f(x)=0,00,1sinxxxxk在x=0处连续，则常数k的取值范围为()A．k≤0B．k0C．k1D．k27.设e1xfxx，则x=0是函数f(x)的()题号一二三四五六七八得分得分评阅人学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题得分共9页第2页A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点8.若y=f(sinx)，则dy=()A.f′(sinx)sinxdxB.f′(sinx)cosxdxC.f′(sinx)dxD.f′(sinx)dcosx9．曲线y=2ln33xx的水平渐近线为()A．y=-3B．y=-1C．y=0D．y=210.函数f(x)=x2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值=（）A.1B.65C.54D.32二、填空题（每小题3分，共18分）1.曲线y=x2－x在x=1点处的切线方程是.2.已知33lim1nknen，则k=______.3.设函数f(x)在x=x0处可导，且0()4fx，则0002limhfxhfxh=______.4.设函数f(x)=2(1),0cos,0xxxaxx在点x=0处连续，则a=_________.5.函数f(x)=x-2cosx在区间[0,2]上的最小值是_________.6.曲线35)2(xy的拐点是_________.三、计算下列各题（每小题6分,共24分）1.求极限12sinlim20xexxxx得分得分共9页第3页2.求极限2110lim(1)xxxex３.设函数21ln(1)arctan2xxxyeee,求y．4.设y=y(x)是由方程xy=ex+y确定的隐函数，求ddyx.共9页第4页四.试确定常数a,b的值，使函数3sin0()ln(1)0xxfxaxbx在点x=0处连续且可导.（本题８分）得分共9页第5页五．导数应用题（每小题5分,共10分）1.已知函数f(x)=asinx+13sin3x在x=3处取得极值，试确定a的值．并问它是极大值还是极小值？且求出此极值．２．求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点．得分共9页第6页六、证明题（每小题5分,共10分）１.证明：方程x-2sinx=0在区间(,)2内有且仅有一个实根.２.设0ab，证明：lnabaababb．共9页第7页浙江农林大学2012-2013学年第一学期期中考试卷答案课程名称：微积分Ｉ课程类别：必修考试方式：闭卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）ＣＢＡＣＣＢＢＢＡＤ二、填空题（每小题3分，共18分）21.1;2.1;3.8;4.;5.2;6.(2,0)yxe三、计算下列各题（每小题6分,共24分）1.220000sinsincossincoslimlimlim2122221sin1lim(cos)42xxxxxxxxxxxxxxexexxxx2.222200111111ln(1)ln(1)00011ln(1)11limlim22lim(1)limlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxexeeeeee３.设函数21ln(1)arctan2xxxyeee,求y．2222arctan1arctan2(1)1xxxxxxxxxeeyeeeeeee4.设y=y(x)是由方程xy=ex+y确定的隐函数，求ddyx.(1),xyxyxyeyyxyeyyxe学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题共9页第8页四.试确定常数a,b的值，使函数3sin0()ln(1)0xxfxaxbx在点x=0处连续且可导.（本题８分）解：0000lim()lim3sin0,lim()lim[ln(1)],(0),xxxxfxxfxaxbbfb函数()fx在点x=0处连续,得b=0,00000()(0)3sin(0)limlim3,()(0)ln(1)(0)limlimlim,xxxxxfxfxfxxfxfaxbbaxfaxxx函数()fx在点x=0处可导,得a=3.五．导数应用题（每小题5分,共10分）1.已知函数f(x)=asinx+13sin3x在x=3处取得极值，试确定a的值．并问它是极大值还是极小值？且求出此极值．解：()coscos3fxaxx1()coscos10,2,332()sin3sin32sin3sin3,()2sin3sin30,33faaafxaxxxxf可知()3f为极大值，且()33f２．求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点．解：222222(1),,1(1)xxyyxx令0y，得1x．共9页第9页(,1)1(1,1)1(1,)00(1,ln2)(1,ln2)xyy　拐点拐点可知曲线y=ln(1+x2)的凹区间为(1,1)，凸区间为(,1)和(1,),拐点为(1,ln2)和(1,ln2).六、证明题（每小题5分,共10分）１.证明：方程x-2sinx=0在区间(,)2内有且仅有一个实根.证明:作函数()2sinfxxx，()[,]()20,()2sin0,222()(,)2()12cos0,(,)2()[,]()0(,)222sin0(,)2fxfffxfxxxfxfxxx显然在区间上连续，且根据根的存在定理知，在区间上存在根．又因为，可知在区间　上严格单调递增，　因此在上有且仅有一个实根，即方程在区间内有且仅有一个实根．２.设0ab，证明：lnabaababb．证明：()ln()[,]()()()(),(,)1lnln()(,),111lnfxxfxbafafbfabbaababbabaababaababb令，则在区间上满足拉格郎日中值定理的条件，得　，即　，因为　即　，得，因此　．