高数08微分方程模拟试题及答案

第1页共8页班级（学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批：--------------------------------------------------------------------密----------------------------封---------------------------线-----------------------------------------------------------（答题不能超出密封装订线）第七章常微分方程阶段测验使用班级（教师填写）：题号一二三四五六七八九总分得分阅卷人一.单项选择题（每小题3分，本题共20分）1.微分方程3()1yy的阶数为()(A)一(B)二(C)三(D)五2.容易验证：ywxywxw120cos,sin()是二阶微分方程ywy20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中CC12,为任意常数）（）（A）yCwxCwx12cossin（B）yCwxwx12cossin（C）yCwxCwx112cossin（D）yCwxCwx122cossin3.微分方程lnlnxyyyyx是()（A）可分离变量方程；（B）齐次方程；（C）一阶线性微分方程；（D）以上都不对。4.微分方程xyxydxdy2的解为（）（A）xCxy2)(ln；（B）0y；（C）2y=(lnx+C)xy=0和；（D）以上都不对。5.设(),()fxfx为已知的连续函数,则方程()()()yfxyfxfx的解是()（A）()()1fxyfxce；（B）()()1fxyfxce；（C）()()fxyfxcce；（D）()()fxyfxce6.微分方程1xyye的一个特解应有形式()第2页（共8页）2（A）baex；（B）bxaxex；（C）bxaex；（D）baxex7.微分方程yyxsin的一个特解应具有形式()（A）Axsin（B）Axcos（C）AsixBxcos（D）xAxBx(sincos)8.微分方程yyxxcos2的一个特解应具有形式（）（A）()cos()sinAxBxCxDx22（B）()cosAxBxx22（C）AxBxcossin22（D）()cosAxBx29.微分方程210yy的通解是（）（A）xexCCy)(21；（B）xxeCeCy21；（C）xeCCyx21221；（C）xxCxCy21sincos21。10.设线性无关的函数321,,yyy都是二阶非齐次线性方程()()ypxyqxy=)(xf的解，21,CC是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）（A）32211yyCyC；（B）1122123()CyCyCCy；（C）3212211)1(yCCyCyC；（D）3212211)1(yCCyCyC。二.填空题(每小题3分,共15分)1.一曲线上点(,)xy的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2，则曲线应满足的微分方程。2.镭的衰变速度与它的现存量m成正比（比例系数为k），已知在时刻镭的存量为m0，则镭的量m与时间t应满足的微分方程初值问题是。3.一质量为m的物体在空气中由静止开始下落。已知空气阻力与下落速度平方成正比（比例系数为k），则物体下落的速度与时间应满足的微分方程初值问题是。第3页共8页4.满足方程21,(1)1,(1)0xyyy的解为。5.设ftftftn12(),(),,()是定义在区间[,]上的函数组，则ftftftn12(),(),,()线性无关的含义是三.求下列微分方程的解(每小题7分，共49分)1、求微分方程()cosxyyyxx20的通解。2、求微分方程21022xyexeyxx()dd的通解。3、求微分方程20yyy的通解。第4页（共8页）44、求微分方程yxyxysinsin22的通解。5、求微分方程xyxy21的通解。6、求微分方程yyy230的一条积分曲线，使其在原点处与直线yx4相切。第5页共8页7、求微分方程yyxch的一个特解。四．设函数(x)连续且满足xxxdttxdtttex00)()()(求(x)(8分)五．已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程(8分)第6页（共8页）6一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.(B)2.（A）3.(B)4.（C）5.(A)6.(D)7.(D)8（A）9.（C）10.（D）二.填空题(每小题3分,共15分)1.xxy224()2.dd,(mtkmmmkt00是比例系数）3.vkmvgvt200,4.yxln5.只有当实数kkkkn123,,,,全为零，才能使等式kftkftkftnn11220()()()对于所有t[,]成立。三.求下列微分方程的解(每小题7分，共49分)1、解:原方程化为:yyxyx12cos令yux，上述方程化为:cosdd2uuxx;积分得：12142uuxCsinln以uyx代入得原方程的通解:224yxyxxCsinln2、解：方程改变为线性微分方程:ddyxxyxex222故通解为:yeCxeexxxx2222d;即:22()xyxCe3、解：令yp，则dpypdy代入方程20yyy得：20dpyppdy解得：1cpy；把yp代入1cpy第7页共8页得通解为：2122ycxc4、解：因为sinsincossinxyxyxy22222，故原方程可化简为ddcossinyxxy2220分离变量得：dsincosdyyxx222积分得通解：lntansinyxC4225、解：yxyx112yxxC11[ln]；yxCxC12212lnln6、解：方程的通解为：yCeCexx123由已知yy(),()0004，代入上式得：CC1211,故所求积分曲线的方程为：yeexx37、解：特征方程r210的根为ri12,；因为chxeexx2故设特解为：*xxyAeBe代入方程得：*11()ch42xxyeex四．解等式两边对x求导得:xxdttex0)()(再求导得微分方程:()()xxex即()()xxxe微分方程的特征方程为:210r。其根为1,2ri。故对应的齐次方程的通解为:12()cossinxCxCx易知1*()2xxe是非齐次方程的一个特解故非齐次方程的通解为第8页（共8页）8121()cossin2xxCxCxe由所给等式知(0)=1(0)1由此得2121CC因此1()(cossin)2xxxxe五．解设点(xy)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为：Yyy(Xx)其在纵轴上的截距为yxy因此由已知有：yxyx即11yxy这是一个一阶线性方程其通解为：)ln(])1([11CxxCdxeeydxxdxx即方程的通解为yx(Clnx)由于曲线过点(11)所以C1因此所求曲线的方程为yx(1lnx)