高数II试卷12级(有答案) (1)

高等数学ＡII期末考试题（2012级）一、填空题（每小题3分，共12分）1.(,)sin2cosfxyxy，则(,)2xf=。解：(,)sin2cossin2cos=2cos2cossin2sin(,)22xfxyxyxyxyxyf2.设21,0()1,0xfxxx是以2为周期的函数，其傅里叶级数在点x处收敛于。解：易见，x是函数的间断点，则在该点处傅里叶级数收敛于221[1(1)]223.(,)(0,0)11limxyxyxy=。解：2(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)111111lim=lim=lim=21111xyxyxyxyxyxyxyxyxy4.设(2,1,2),b(4,1,10),cb,aa且ac，则=。解：cb(42,1,102),02(42)(1)2(102)03acaca二、选择题（每小题3分，共12分）1.幂级数011nnxn的收敛域是（）（Ａ）(1,1]（Ｂ）,（Ｃ）(1,1)（Ｄ）[1,1)解：112limlim111nnnnanan则收敛半径为1当1x时，级数成为0(1)1nnn，由莱布尼兹审敛法知其收敛当1x时，级数成为011nn，发散故收敛域为[1,1)选D2.函数222zxy在点（1,1）处的梯度为（）（Ａ）42ij（Ｂ）42ij（Ｃ）42ij（Ｄ）42ij解：(1,1)(1,1)(4,2)(4,2)gradfxy选A3.以下命题不正确的是（）（Ａ）若11limnnnuu，则1nnu发散（Ｂ）若1nnu收敛，则20131nnu收敛（Ｃ）若级数1nnu收敛，且(n1,2,)nnuv，则级数1nnv也收敛（Ｄ）若1(u)nnnv收敛，则11unnnnv，不一定都收敛注意到C是正项级数的审敛法。选C4.若(,)zfxy在点000P(,)xy可微，则下列结论不一定成立的是（）（Ａ）(,)fxy在该点处偏导数存在（Ｂ）(,)fxy在该点处偏导数连续（Ｃ）(,)fxy在该点处连续（Ｄ）(,)fxy在该点处切平面存在选B三、解下列各题（每小题6分，共18分）1.设L为椭圆22143xy，其周长为a，计算曲线积分22(34)Lxyds的值。解：由椭圆方程22221341243xyxy，代入曲线积分的表达式22(34)=12=12LLxydsdsa2.计算曲线积分22Lxydxxdy的值，其中L为抛物线2yx上从O(0,0)到B（1,1）的一段弧。解：L：2xxyx，x从0到1112224002(22)1Lxydxxdyxxxxdxx3.求函数22uxy在点(1,1)处沿(4,3)l方向的方向导数。解：43(4,3)cos,cos,55l22(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)22,22,uuuxyxyxy5142,2)53,54(gradu四、解下列各题（每小题7分，共35分）1.讨论二元函数1()cos,0(,)0,0xyxfxyxx在点（0,0）处的连续性.解：(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)1lim(,)lim()cos0(0,0)0fxyxyxf则函数在点（0,0）处连续2.计算曲面积分2,yzdzdxdxdy其中为2224xyz的外侧在0z的部分。解：记10z：，向下，则与1形成封闭曲面，由高斯公式122220002zcossin4yzdzdxdxdydvddrrdr182dxdyyzdzdx2,yzdzdxdxdy12)8(4利用球面坐标）若利用柱面坐标：2224000z4dvddzdz3.将2()xfxe展成x的幂级数，并指出其收敛区间。解：200(2)2()=,(,)!!nnxnnnxfxexxnn4.求平行于x轴且经过两点（4，0，-2）和（5,1,7）的平面方程。解：设平面方程为0ByCzD，代入两点（4，0，-2）和（5,1,7）解得D=2C,B=-9C,代入直线方程则直线方程为：920yz5.求级数12nnnxn的收敛域及和函数。解:1121limlim22nnnnnnanan则收敛半径为12当12x时，级数成为1(1)nnn收敛，当12x时，级数成为11nn发散则收敛域为11[,)22设234112(2)(2)(2)(2)()=2234nnnnnxxxxSxxxnn，逐项求导，得2323()=222(2)2(2)21=2(12(2)(2))212Sxxxxxxxx故02()ln(12)12xSxdxxx五、解答题（每题9分，共18分）1.计算积分Dxyd，其中D是由22xyxx所围成。解：212001=12xxDxyddxxydy2.计算xdxdydz，其中为三个坐标面和平面21xyz所围成的区域。解：11122000xxyxdxdydzdxdyxdz六、（本题5分）设(u)f有连续导数，证明曲面zxf(yz)上任一点的切平面平行于某一定直线。证明：zzyfxzyxF)(),,(1)(),(,1//ufFufFFZyx取直线的方向向量)1,1,1(n，则0),,(zyxFFFn，),,(zyxFFFn任取曲面外的一点（a,b,c），则直线111czbyax平行于曲面zxf(yz)上任一点的切平面.