高数下期中考试(12-13)试卷及解答

广东工业大学试卷用纸，共6页，第1页学院：专业：学号：姓名：装订线广东工业大学考试试卷()课程名称:高等数学（二）期中测验考试时间:第周星期(月日)成绩:一、填空题（每题3分,共15分）1．设αβδγ、、、为向量，k为实数．若11α=,β=,αβ,2γ=α+β,kδ=α+β,γδ，则k．12k2．若曲线xtyarctgtztln(),,123在点(ln,,)241处的一个切向量与ox轴正向夹角为锐角，则此向量与oy轴正向夹角的余弦是______。1413函数uxyz在球面2221xyz上点000(,,)xyz处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数为__000xyz___,４设函数(,)fxy在(,)ab点处的偏导数存在，则0(,)(,)limyfabyfabyy＝______．2(,)yfab５设10,1:yxD。则Dydyyx)cos(5＝32。二、单选题：（每题4分,共20分）１．函数2244,,0,0,0,,0,0xyxyxyfxyxy在点0,0处（Ｃ）（Ａ）连续但不可微；（Ｂ）可微；（Ｃ）可导但不可微；（Ｄ）不连续又不可导数．2．设函数Fuv(,)具有一阶连续偏导数，且FFuv(,),(,)012013，则曲面Fxyzxyyzzx(,)0在点(,,)211处的切平面方程为（A）260xyz（B）21180xyz（C）280xyz（D）21160xyz答：（Ｄ）广东工业大学试卷用纸，共6页，第2页３改变积分次序后12330010(,)(,)yydyfxydxdyfxydx＿＿()C（Ａ）330(,)xxdxfxydy（Ｂ）230(,)xxdxfxydy（Ｃ）2302(,)xxdxfxydy（Ｄ）203(,)xxdxfxydy４、设),(yxf连续，且Ddudvvufxyyxf),(),(，其中D是由0y，2xy，1x所围成区域，则),(yxf＝（Ｃ）4、解：设AdxdyyxfD),(，则DDdxdyAdxdyxyA2分AxydydxAx31201081A5分从而81),(xyyxf6分５．若243221(,)2,(,)221,fxxxxxfxxxx则22(,)fxx（Ａ）（A）2221xx（B）21232xxx（C）2221xx（D）2231xx三、求解下列各题（每题6分，共24分）1．设函数23(,),xzzzzzxyeyxx由方程z=+2确定，求解：2323232323xzxzxzxzxzzzzeexxxezzzeyyye由方程两边对x求导２　=（２－３）＝１＋３方程两边对y求导２=（－３）+2＝１＋３广东工业大学试卷用纸，共6页，第3页2．已知(,)()xyzfxygyx，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求2zxy．解:1221()zyfyfgxyx2121122232311zxyffxyffggxyyyxx．.z(,)01;(2)(,)0xazybzzzabxyxyxazybzab３设由方程所确定（可微）（１）证明：证明曲面上任一点的切平面与直线==z平行解（１）12112(,)(1)(,)()0;zzxazybzaxazybzbxxzxab由方程两边对x求导12212(,)()(,)(1)0;zzxazybzaxazybzbyyzxab方程两边对y求导所以1zzabxy（）（２）只要证明切平面法向量与l＝｛a,b,1｝垂直平面的法投师训1212{(,),(,),(,)(,)}nxazybzxazybzaxazybzbxazybz显然0.ln所以垂直四、计算下列各题（每题7分，共28分）广东工业大学试卷用纸，共6页，第4页１．计算241Dxydxdy，其中Ｄ是由曲线.10yxyx及所围成的区域:12442003113444412000:11111211(1)3121231(221)18yDxydxdyydyxdxyydyydyy解2计算二重积分其中D：1≤x2+y2≤4,y≥0,y≤x.３．设是曲线022xzy绕z轴旋转一周而成的曲面与平面8z围成的空间区域，求dvyxI)(22。解：由zyx222与8z所围成，在柱坐标系下：82,40,202z3分82240202dzddI5分＝31024４在第一卦限内椭球面22239xyz上求一点，使椭球面在该点的切平面在三个坐标轴上的截距之积最广东工业大学试卷用纸，共6页，第5页小．解：设000(,,)Pxyz为椭球面上一点,222(,,)39Fxyzxyz则000{2,2,6}nxyz，过000(,,)Pxyz的切平面方程为000000()()3()0xxxyyyzzz截距式0001993xyzxyx截距的乘积u=000993xyx即求0ux0y0y的最大值，或求000lnlnlnlnuxyz最大值222000lnlnlnln(39)Guxyzxyz令0002220,0,039xyzGGGxyz＝得0000002221201201039xxyyzzxyz６＝0001116xyz２２２－２－２－代入22239xyz＝解得160003,3,1xyz由于实际问题一定有最小值，而求得只有唯一可疑点，所以该点为所求点．最小值为８１.五求与两异面直线11:011xyzL及22:210xyzL都垂直且相交的直线方程解：根据题意知公垂线的方向向量可取广东工业大学试卷用纸，共6页，第6页12011{1,2,2}210ijksss11πl与公垂线所确定平面的法向量为1112()011{4,1,1}122ijknsss11(1,0,0)π,π点在平面上故的方程为4(1)(0)(0)0,xyz――――――（１）22πl与公垂线所确定平面的法向量为1212()210{2,4,5}122ijknsss22(0,0,2)π,π点在平面上故的方程为2(0)4(0)5(2)0,xyz―――――（２）公垂线同时在12π,π,上联立（１）（２）得直线方程为440245100xyzxyz