高数下练习题

练习题：一、填空1、设)(32xyxyz，其中有连续导数，求yzxyxzx2=.答案：2y2、求由曲线0122322zyx绕y轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量是。答案：)3,2,0(513.已知级数1nnu的前n项部分和,2,1,13nnnSn,则此级数的通项nu=.答案：13nnun4、L:沿椭圆12222byax逆时针方向绕一周，计算Ldyyxdxyx)4()23(=。答案：ab35、设f(x)是以2为周期的周期函数，它在区间],[上定义为0,00,)(xxexfx，则f(x)的付里叶级数在x收敛于________2e_______6、设222zyxr，则计算rgrad1=答案：)(113kzjyixrrgrad7、确定常数m,使Ddxdyyxm2)cos(，其中D是由直线2,2,xxyxy所围成的区域，则m=。答案m=-38.微分方程0152yyy的通解是xxeCeCy25231二、选择1、曲面22yxz包含在圆柱xyx222内部的那部分面积S=(B)(A)3(B)2(C)5(D)222、10222zyxzyx则dzdx=（B）(A)zyzx；(B)yxzy;(C)zxzx24421;(D)zxyx3、设f(x,y)连续，10021202),(),(xxdyyxfdxyxfdx=（D）(A)2022),(yydxyxfdy(B)102),(yydxyxfdy(C)1002120),(),(yydxyxfdydxyxfdy(D)102),(yydxyxfdy4、设)()(yxyxz，则必有（B）a)0yyxxzz;b)0yyxxzz;c)0xyz;d)0xyxxzz5、若L是以)0,0(O，)0,1(A和)1,0(B三点为顶点的三角形的边界，则Ldsyx)(的值等于(C)（A）21（B）221（C）21（D）26、若区域D由xyx222所围成，则)()(22dxdyyxyxD。（A）dxdyxyxD2)(（B）10112),(yydxyxfdy（C）drrdcos20320)sin(cos2（D）22cos203)sin(cosdrrd7、设)(xf有连续的一阶导数，则)2,1()0,0()()()(dyyxfdxyxf（A）0（B）30)(dxxf（C）dxxf10)(（D）)1()3(ff8、设0,00,)sin(),(2xyxyxyyxyxf，则)()1,0(xf（A）0（B）2（C）不存在（D）1三.1、计算dxedyyx11022、设),(yxyxyfz，f具有二阶连续偏导数，求yz及xyz2答案：21ffyfyz22211211212ffffyffxyz221121ffyff3、求球面03222xzyx与平面04532zyx的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。答案:切线方程为,1191161zyx法平面方程为024916zyx4、求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。答案：42yx，001221zyx5、设L为正向圆周222yx在第一象限中的部分，计算曲线积分Lydxxdy2答案：236、设)10(:22zyxz的下侧，求dxdyzydxdzxdydz)1(32答案：27、求dszxy2，其中为半球面228yxz位于圆柱面422yx内的部分。答案：12231288、计算,dscosz2其中是上半平面：01222z,zyx；是球面的法线与z轴正向夹成的锐角。答案：29、求幂级数nxnnnn1)2(31的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.答案:收敛域[-3，3）；10、设0x，求微分方程0622dyxyydx通解.答案：通解为322Cyyx11.求微分方程yyyyy22的通解。答案：)(1121CyeCeCyxCxC包含12、求0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏导数的连续性。答案：不连续13、已知曲面方程为)0,0,0(1zyxxyz在曲面上求一点，使其到原点的距离最短并求出最短距离。答案：（1,1,1）最短距离：314、设),()2(xyxgyxfz，其中)(tf二阶可导，),(vug具有二阶连续偏导，求yxz2。解：2221221)2(2,)2(2ggxygxyxfzgygyxfzxyx。15．设n是曲面42222zyx在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32zxyu在点M沿方向n的方向导数，并求方向导数的最大值。解:68}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00nzuyuxununzyxnMM,方向导数的最大值为:14Mgradu.16．设)(22yzyzx,求yz.解)(2,)()(),(),,(22yzzFyzyzyzFyzyzxzyxFzy，)(2)()(xzzyzxzyzFFyzzy17、设4:222zyxS，计算dSyxS)(22。答案：312818、验证dyyeyxxdxxyyxy)128()83(2322是某个函数),(yxu的全微分，并求),(yxu。答案：)1(124),(223yyeyeyxyxyxu19、计算曲线积分Lydyxedxy)()22(2，其中L是从点O(0,0)到点A(1,0)的上半圆周xyx22。20、设物体占空间区域，是由曲面224yxz，22yxz围成，试分别用直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分dvzyxfI),,(化为三次积分。21设)(xf可微，1)0(f，曲线积分dyxxfdxxfxxyIL]2)([)(122与路径无关。（1）试求)(xf;（2）计算dyxxfdxxfxxyIyx]2)([)(12),()0,0(2的值。22、判别级数11231nnnn的敛散性。答案：收敛23、证明0,00,),(2222yxyxyxxyyxfz在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。24、设曲面hzzyx0,:222.cos,cos,cos是的外法线方向余弦，求dszyxI)coscoscos(222答案：421h25、设正向数列{na}单调减少，且1)1(nnna发散，证明级数1)11(nnna收敛证：由}{na单调递减有下界（非负），故极限存在aannlim则有0aan（0a否则与1)1(nnna发散矛盾）1)11(nnna1)11(nna，111a由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛。26、求幂级数11nnxnn在其收敛域1x内的和函数xs。答案：000111111x,,x,,x,xlnxxxs27.函数xycos展开成4x的幂级数。28.计算三重积分zdv,其中为曲面222yxz及22yxz所围成的闭区域.答案：12729、求级数21)1ln(ln)1(11lnnnnnnnnn的和。答案：2ln21limnnss30、求二元函数223),(xyyxxyyxf的极值.答案：驻点:11,30,03,00yxyxyxyx)1,1(是极值点，11,1f是极大值.31、求微分方程02sinxyy满足初始条件1,1xxyy的特解。答案：特解为：xxeeyx2sin512cos1015323。