高数宝典之集体编撰第七章微分方程

第一节微分方程的基本概念1微分方程的定义（见书P295）表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间关系的方程就叫微分方程，也叫方程，其中未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。对于n阶微分方程F(x,y,y',…,y(n))=0⑴只有y(n)必须出现。若y(n)可以解出，则微分方程也可写为y(n)=f(x,y,y',…,y(n-1))2.微分方程的解和通解（见书P296）若函数y=φ(x)在区间I上有n阶连续导数，且在区间I上有F[x,φ(x),φ'(x),…,φ(n)(x)]≡0则y=φ(x)叫微分方程⑴在区间I上的解；若φ(x)中含有n个不可合并任意常数，则φ(x)叫微分方程的通解。3.初始条件，微分方程的特解和初值问题（见书P297）初始条件：根据问题实际情况或人为提出的确定函数通解的条件。n阶微分方程初始条件一般为：yyyyyynxxnxxxx)1(0)1(00|,,'|',|000其中y0,y0',…,y0(n-1)为定值。4.微分方程的积分曲线（见书P297）微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题'|',|)',,(''0000yyyyyyxfyxxxx的几何意义就是求微分方程的通过点（x0，y0）且在该点处的切线斜率为y0'的那条积分曲线。5.本节需掌握导数的两种表示方法。例题：验证：函数x=C1coskt+C2sinkt(i)是微分方程0222xkdtxd(ii)的解，并求满足初始条件0,||00dtdxAxtt的特解。解：对（i）式求导dtdx=-kC1sinkt+kC2coskt(iii)dtxd22=-k2(C1coskt+C2sinkt)则dtxd22+k2x=-k2(C1coskt+C2sinkt)+k2(C1coskt+C2sinkt)=0所以原命题得证。将0,||00dtdxAxtt代入(iii)式得C2=0.再将Axt|0代入(i)式，有C1=A.所以所求特解为x=Acoskt.第二节可分离变量的微分方程本节至第四节，讨论的都是一阶微分方程y'=f(x,y)的一些解法1.可分离变量的微分方程（运用分离变量法解）（见书P300）如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx(2)的形式，也就是说能把含有x的项与含y的项分离，则称该方程为可分离变量的微分方程。2.隐式解和隐式通解（见书P300）设G'(y)=g(y),F(x)=f(x).则方程G(x)=F(x)+C(3)用隐式（不是y=φ(x)+C的形式）给出了方程（2）的解，叫做（2）的隐式解。又(3)中含有任意常数，所以（3）又叫微分方程（2）的隐式通解。注意点：1.积分后的式子中要有常数C。2.对形如dxdy=f(x)g(x)的方程，通过分离变量法得到dxxfygdy)()(会漏掉g(y)=0的解，应及时补全。例题：求微分方程xydxdy2的通解。解：将方程分离变量得xdxydy2，两端积分xdxydy2，得ln|y|=x2+C1,推出eeexCCxy2112.因为ec1是任意非零常数，有y0也是方程的解；故方程的通解Cexy2学习方法（续）：1.在理解的基础上背公式，可能的话自己推导一遍，会容易记住。2.勤动手，重视做错的题。3.训练观察能力，形成自己的数学思维习惯。第三节齐次方程学习目的：掌握齐次方程的求通解方法；掌握其他非齐次变换为齐次方程，进一步求解。学习重点：变换的灵活应用。本质：最后均化为可分离变量方程。一、齐次方程若一阶微分方程可化为)(xydxdy（1）则为齐次方程。具体解法：udxduxudxdyxyu,再分离变量，求积分，u还原为xy，即得通解。二、可化为齐次的方程⒈形如111cybxacbyaxdxdy（2）①01cc时上下同除x化为（1）式。②1cc时为将其化为①形式，则有,00yyxx得出001010100cybxacbyax解出,,00yx方程为11babadxdy，形如①，得出通解后令,,00yyxx即可。③bbaa11时，1cbyaxcbyaxdxdy令,1,1cvcvadxdvbdxdybyaxv则为可分离变量的方程，将byax代回得最终通解。⒉形如cbyaxfdxdy，设,,ufbabdxdudxdycbyaxu则可分离变量，将cbyax代回，得最终通解。经典例题ⅰ.求xyydxdyxln的通解.解析：.1lnlnln)1ln(ln)1(lnlnln为方程通解为任意常数）（左右积分得cxxyccxuxdxuuduuudxduxuxyuxyxydxdyⅱ.求出0141dyxydxyx的通解.解析：012arctan14ln110)2arctan()4ln()141144(1414114100101401141222222200000000xyxccyxxyucucucdduuuuuudduuuddddyxyxyxyyxxxyxydxdy代入与为任意常数左右积分得方程化为小结：本质还是将变量代换，将dxdy变为dxdu的式子，与uf构造可分离变量方程，再求通解。第四节一阶线性微分方程一．主要内容1.线性方程方程dy／dx＋P﹙x﹚y=Q﹙x﹚﹙1﹚叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q﹙x﹚≡0，则方程﹙1﹚称为齐次的；如果Q﹙x﹚0，则方程﹙1﹚称为非齐次的。设方程﹙1﹚为非齐次线性方程，为求出它的解，我们先把Q﹙x﹚换成零而写出方程Dy∕dx＋P﹙x﹚y=0﹙2﹚该方程是可分离变量的，求得y=C·e﹣∫P﹙x﹚dx，这就是齐次线性方程﹙2﹚的通解。现在我们使用所谓的“常数变易法”来求解非齐次线性方程﹙1﹚的通解。这方法是把﹙2﹚中通解C换成x的未知函数u﹙x﹚，即y=u·e﹣∫P﹙x﹚dx或u=y·e∫P﹙x﹚dxⅰ﹚解法见课本P311ⅱ﹚也可用凑微分的方法求解︰对方程﹙1﹚两边同乘e∫P﹙x﹚dx，得dy∕dx·e∫P﹙x﹚dx＋P﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx·y=Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx注意到﹙y·e∫P﹙x﹚dx﹚ˊ=dy∕dx·e∫P﹙x﹚dx＋P﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx·y则﹙y·e∫P﹙x﹚dx﹚ˊ=Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx，即uˊ=Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dx两边同时积分得u﹙x﹚=∫Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚ddxx＋C得非齐次线性方程﹙1﹚的通解︰y=e﹣∫P﹙x﹚dx·﹙∫Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dxdx＋C﹚=C·e﹣∫P﹙x﹚dx＋e﹣∫P﹙x﹚dx·∫Q﹙x﹚·e∫P﹙x﹚dxdx﹙3﹚非齐次线性方程解得结构︰一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。2.伯努利方程方程dy/dx+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1)具体内容见课本P314二．典型例题与解题方法㈠线性方程1.常数变易法公式法例1求解方程(cosx)dy/dx+(sinx)y=1方法1利用常数变易法先将原方程化成一阶线性微分方程的标准形式即dy/dx+(tanx)y=secx(3)我们先求齐次方程的通解dy/dx+(tanx)y=0分离变量得dy/y=-（tanx)dx两边同时积分的In|y|=In|cosx|+InC∴y=C·cosx又用常数变易法得y=u·cosx(1)dy/dx=u′cosx－u·sinx(2)将（1）（2）代入（3）中得u′=sec2x两边同时积分得u=∫sec2xdx=tanx+C∴∴原方程通解为y=(tanx+C)·cosx方法二：先将原方程化成一阶线性微分方程的标准形式即dy/dx+(tanx)y=secx在方程而两边同乘以e∫P(x)dx=secx得(y·secx)'=sec2x两边同时积分得y·secx=∫sec2xdx=tanx+C∴y=cosx(tanx+C)方法三：直接利用非齐次线性微分方程的通解公式先将原方程化为一阶线性微分方程的标准形式dy/dx+(tanx)y=secx此处P(x)=tanxQ(x)=secx∴y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+c]=e-∫tanxdx[∫secxe-∫tanx)dxdx+c]=(tanx+c)cosx评注：由于常数变易法求解过程较为复杂在今后求解中我们多用公式法直接进行求解但不论哪种方法都必须先把原方程化为一阶线性微分方程的标准形式。第六节高阶线性微分方程二阶齐次线性方程y”+p(x)y’+Q(x)y=0(1)定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程（1）的两个解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是（1）的解，其中C1,C2是常数。证明见书P326线性无关的概念————书P326由线性无关理解二阶齐次线性微分方程解的结构定理2如果y1(x)与y2(x)是方程（1）的两个线性无关的特解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2任意常数)就是方程（1）的特解推论：将二阶推广至n阶N阶齐次线性方程y(n)+a1(x)y(n-1)+……+an(x)y=0通解：y=C1y1(x)+C2y2(x)+……+Cnyn(x)其中C1,C2……Cn为任意常数且y1(x),y2(x)……yn(x)线性无关定理3二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+Q(x)y=f(x)若y*(x)是其一个特解，Y(x)是y”+p(x)y’+Q（x）y=0对应的通解，则y=Y(x)+y*（x）是此二阶非齐次线性方程的通解证明见书P327提示：诸如此类的证明均为将通解代入原方程中检验即可解的叠加原理定理4形如y”+p(x)y’+Q(x)y=f1(x)+f2(x)若y1*,y2*分别是y”+p(x)y’+Q(x)y=f1(x)和y”+p(x)y’+Q(x)y=f2(x)的特解，则y=y1*+y2*是y”+p(x)y’+Q(x)y=f1(x)+f2(x)的一个特解常数变易法（用于解非齐次线性方程）编者感觉常数变易法是先由解的形式设出通解，再将通解中未知量与变量x（即自变量）相联系，其过程即是消去原方程中y及其导数的过程因此学习完上面解的结构有益于常数变易法的应用书上以二阶线性方程讨论解题技巧：高阶特型方程解法的基本思想是降级法。一般说来对于高阶特型微分方程求其特解时，采用边求解边代初始条件以确定相应常数，往往要比先求解厚再代初始条件简单些第七节常系数齐次线性微分方程首先，我们回顾一下本章前六节已解决的问题。1.判定微分方程的阶数，利用初始条件，求解简单的微分方程。2.对于可分离变量的微分方程，形如g(y)dy=f(x)dx,直接两边求积分，得隐式通解。3.解齐次方程，形如dydx=φ(xy)。（会利用u=ax+by的代换）4.一阶线性微分方程，形如dydx+p(x)y=Q(x)求解。Q(x)=0时，方程齐次（一阶线性微分方程中的齐次和3.中的齐次不同，它表示该方程可化为dyy=−p(x)dx,是可分离的。3.中（yx）是可以有较高次幂存在的，但一阶线性微分方程中，y’和y都是一次的（故而称“线性”），且p(x)不一定为幂函数，可以是其他类型的函数。）。Q(x)≠0时，方程非齐次，用常数变易法。5.可降阶的高阶微分方程的三个类型。yn=f(x)型，含y’’,x,y’的类型，以及含y’’,y,y’的类型。6.高阶线性微分方程(可以看到所解决的问题先由一阶线性，转向可降阶的高阶，又转向了一般的线性高阶，但是此节的学习也只是掌握几个关于方程线性相关性，由特解得到通解的定理，学会验证通解，了解常数