高数实验指导手册

1《高等数学实验》实验一函数的计算、绘图与极限一、实验目的1、熟悉Matlab数学软件；2、加深对数列极限和函数极限概念的理解；3、掌握Matlab求解极限的命令、绘图命令和程序设计。二、实验的基本理论与方法1、数列极限的定义；2、函数极限的定义。三、实验使用的函数与命令conv(u,v)求多项式u,v的乘法decove(u,v)求多项式u,v的除法root（u）求多项式的根plot(x,y)绘制变量为x，函数y的二维图形plot(x,y,z),mesh(x,y,z)绘制三维图形limit(f,x,a)求变量x趋于a时的极限四、实验指导1、多项式的运算多项式一般用向量表示，向量的元素表示多项式的系数，缺少的项用0补足。例如x2+x+1可以表示为[1,1,1]，x4+x2+x+1可以表示为[1,0,1,1,1]。多项式u,v的乘法用命令conv(u,v)实现,除法用命令decove(u,v)实现,求多项式的根用命令root（u）实现。例：设p=x4+x2+x+1,q=x2+x+1,求p*q,p/q.p=[1,0,1,1,1];q=[1,1,1];w=conv(p,q)w=1122321r=deconv(p,q)2r=1-11s=roots(p)s=0.5474+1.1209i0.5474-1.1209i-0.5474+0.5857i-0.5474-0.5857i2、二维图形的绘制二维图形绘制可以使用plot(x,y)命令实现，其中x,y均为向量。例：绘制函数y=arctanx在区间（-100，100）上的图形x=-100:100;plot(x,atan(x))回车如果想把几个函数的图形绘制在一起，可以如下操作。x=0:0.1:pi;y1=cos(x);y2=sin(x);Holdon%开启图形保持功能以便重复画点plot(x,y1)plot(x,y2)（或直接用plot(x,y1,x,y2)绘制）00.511.522.533.544.55-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-100-80-60-40-20020406080100-2-1.5-1-0.500.511.5233、三维图形的绘制三维图形可以用plot(x,y,z),mesh(x,y,z)命令来绘制，前者为以x,y,z为坐标的曲线图，而后者为曲面。例：绘制螺旋线t=0:0.1:5*pi;x=cos(t);y=sin(t);plot3(x,y,t)例：t=0:pi/100:2*pi;x=[sin(t);sin(t)];y=[cos(t);cos(t)];z=[(sin(t)).^2+(cos(t)).^2;(sin(t)).^2+(cos(t)).^2+1];plot3(x,y,z)x=cos(t);y=sin(t);z=[x;y];%x,y必须为向量，其长度分别为m,n，则z必须为m*n矩阵。mesh(z)-1-0.500.51-1-0.500.5105101520-1-0.500.51-1-0.500.510.811.21.41.61.8201020304011.52-1-0.500.5144、函数的极限x=sym(‘x’)%建立符号变量xsymsxyz%建立多个符号变量x，y，z，注意各符号变量之间必须用空格隔开limit命令的使用格式如下：limit(f,x,a)%执行后返回函数f在符号变量x趋于a时的极限（缺省a默认为x趋于0）limit(f,x,inf)%执行后返回函数f在符号变量x趋于时的极限limit(f,x,a,’left’)%执行后返回函数f在符号变量x趋于a时的左极限limit(f,x,a,’right’)%执行后返回函数f在符号变量x趋于a时的右极限例：求函数y=x2+x,y=n/(n2+n)当x分别趋于1和时的极限symsxy=x^2+x;limit(y,x,1)ans=2y=n/(n^2+n);limit(y,n,inf)ans=0实验二一元函数的微积分一、实验目的1、掌握符号函数求导2、从几何直观上理解微分中值定理3、掌握函数的积分计算二、实验的基本理论与方法1、函数求导的定义2、函数微分中值定理3、函数积分的定义三、实验使用的函数与命令diff(y)求函数y的导数int（f,a,b）计算函数f在区间（a,b）上的定积分5四、实验指导1、符号函数求导求一个函数的导数可以用diff(y)来实现，其中y表示函数。例：求函数cos2(x)和cos2(x)+sin(x)*ex的导数symsx；diff((cos(x))^2)ans=-2*cos(x)*sin(x)diff((cos(x))^2+sin(x)*exp(x))ans=-2*cos(x)*sin(x)+cos(x)*exp(x)+sin(x)*exp(x)2、从几何图形直观地观察微分中值定理研究函数cos2(x)+sin(x)*ex在区间[0,pi]上的图形，观察导数为0的点。左边是cos2(x)+sin(x)*ex在[0,pi]上的图形，右边是cos2(x)+sin(x)*ex的导函数在[0,pi]上的图形3、函数的一重积分计算计算定积分可以用int（f,a,b）命令来实现。例计算下列不定积分（1）22741225xdxxx；（2）421dxxx；（3）2cos3xexdx。symsxyzab%定义符号变量020406080100120-25-20-15-10-505020406080100120123456786S=(2*x-7)/(4*x^2+12*x+25);%定义符号表达式int(S)%对符号表达式求不定积分ans=1/4*log(4*x^2+12*x+25)-5/4*atan(1/2*x+3/4)S=1/(x^4*sqrt(1+x^2));int(S)ans=-1/3/x^3*(1+x^2)^(1/2)+2/3/x*(1+x^2)^(1/2)S=exp(2*x)*cos(3*x)；int(S)ans=2/13*exp(2*x)*cos(3*x)+3/13*exp(2*x)*sin(3*x)求定积分（1）122102.1xydxx（2）2220sinyxxdx（3）1213211.xxyxedxx解matlab命令为symsx%定义符号变量S=x^2/sqrt(1-x^2);%定义符号表达式y1=int(S,0,1/2)%计算符号表达式在区间[0，1/2]上的定积分ans=-1/8*3^(1/2)+1/12*piS=x*sin(x)^2;%定义符号表达式y2=int(S,0,pi/2)%计算符号表达式在区间[0，π/2]上的定积分ans=1/16*pi^2+1/44、函数的二重积分求二重积分z=sin(x+y)+xy2在1x2,2y3上的积分值。symsxy;z=sin(x+y)+x*y^2;z1=int(z,1,2);z2=int(z1,2,3)z2=-sin(5)+19/2+2*sin(4)-sin(3)求二重积分z=ex+y+cos(xy)在0x1,0y1上的积分值。symsxy;z=exp(x+y)+cos(x*y);7int(int(z,0,1),0,1)ans=exp(1)^2+sinint(1)-2*exp(1)+15、函数的三重积分求三重积分w=sin(x+y)+zxy2在1x2,2y3,0z4上的积分值。symsxyz;w=sin(x+y)+z*x*y^2;int(int(int(w,0,4),2,3),1,2)ans=-sin(7)+76+sin(3)+sin(6)-sin(2)求三重积分w=ex+y+z3在0x1,1y2,0z4上的积分值。symsxyz;w=exp(x+y)+z^3;int(int(int(w,0,1),1,2),0,4)ans=4*exp(3)+64-8*exp(2)+4*exp(1)实验三符号方程的求解一、实验目的1、掌握微分方程符号求解的方法2、掌握代数方程符号求解的方法二、实验的基本理论与方法1、微分方程的定义；2、代数方程的定义。三、实验指导1.符号代数方程求解在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve（s）:求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。solve（s，v）：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve（s1，s2，…，sn,v1,v2…，vn）：求解符号表达式s1，s2，…，sn组成的代数方程，求解变量分别为v1,v2…，vn。例1解下列方程2sin15)1ln(xx解：f=sym('log(1+x)-5/(1+sin(x))=2');x=solve(f,x)8x=-2.3252089974147376581936966961284-1.6376296418898326405425913086466*i2.符号常微分方程求解在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y,D2y表示y,Dy(0)=5表示50y。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程05yxyy。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为：dsolve(e,c,v)该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c,则求方程的通解。dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：dsolve（e1,e2,…，en,c1,…，cn,v1,…，vn）该函数求解常微分方程e1,e2,…，en在初值条件c1,…，cn下的特解。若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,…，vn给出求解变量。例2求微分方程初值问题的符号解，并与数值解进行比较150,00,029422yyydxdydxyd解：y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y','y(0)=0','Dy(0)=15','t')y=3*exp(-2*t)*sin(5*t)实验四多元函数及其微积分一、实验目的1、了解多元函数、多元函数积分的基本概念，多元函数的极值及其求法；2、理解多元函数的偏导数、全微分等概念；3、掌握MATLAB软件有关求导数的命令；4、掌握MATLAB软件有关的命令.二、实验的基本理论与方法1、多元函数的偏导数，极值；2、计算曲线积分，计算曲面积分；三、实验使用的函数与命令1、建立符号变量命令为sym和syms，调用格式为:x=sym('x')建立符号变量x；symsxyz建立多个符号变量x，y，z；92、matlab求导命令diff的调用格式:diff(函数f(x,y),变量名为x)求f(x,y)对x的偏导数；diff(函数f(x,y),变量名为x，n)求f(x,y)对x的n阶偏导数；四、实验指导1、多元函数的微积分多元函数的求偏导数、高阶偏导数，以及重积分、线积分等使用的命令和一元函数的微积分使用的命令相同。只是在命令中的参数设置时注意是对哪一个变量求导和积分即可。例1求二元函数的二个一阶偏导数和三个二阶偏导数。解S=2*x*y/(x^2+y^2);%定义二元符号函数dfx=diff(S,x)%计算对x的一阶偏导数dfx=2*y/(x^2+y^2)-4*x^2*y/(x^2+y^2)^2dfy=diff(S,y)%计算对y的一阶偏导数dfy=2*x/(x^2+y^2)-4*x*y^2/(x^2+y^2)^2d2fx=diff(S,x,2)%计算对x的二阶偏导数d2fx=-12*y/(x^2+y^2)^2*x+16*x^3*y/(x^2+y^2)^3d2fxy=diff(dfx,y%计算对x