高数微积分(B)无穷级数练习题

12013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章无穷级数一、选择题1.若0limnnu，则级数1nnu………………………………………………………（）A.收敛且和为0B.收敛但和不一定为0C.发散D.可能收敛也可能发散2.下列级数发散的是……………………………………………………………………（）A.121nnB.12)1(nnC.211nnD.12)1(nnn3.设无穷级数1npn收敛，则在下列数值中p的取值为……………………………（）A.2B.1C.1D.24.若31lim1nnnaa，则级数nnnxa)21(0的收敛半径等于…………………………（）A.31B.3C.32D.235.幂级数11)1()1(nnnnx的收敛区域是……………………………………………（）A.]2,0(B.)2,0[C.)2,0(D.]2,0[6.设幂级数0nnnxa在3x处收敛，则该级数在1x点处………………………（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.可能收敛也可能发散7.无穷级数1!1nn的和为…………………………………………………………………（）A.eB.1eC.1eD.2e8.241xx展成x的幂级数是………………………………………………………………（）A.12nnxB.12)1(nnnxC.22nnxD.22)1(nnnx二、填空题21.若级数1nnu收敛于S，则级数)(11nnnuu收敛于．2.设a为常数,若级数)(1aunn收敛，则nnulim．3.部分和数列nS有界是正项级数1nnu收敛的条件．4.若级数1lnnxn收敛，则x的取值范围是．5.若级数1nnu条件收敛，则级数1nnu的敛散性为．6.幂级数1n32)1(nnnnnxx的收敛半径为．7.设幂级数1nnnxa的收敛半径为2，则级数1)1(nnnxna的收敛区间为．8.dxxxxx)!3!2!11(64102．三、解答与证明题1．证明级数)13)(23(1741411nn收敛并求其和．2．判断下列级数的敛散性．（1）87654321；（2）1143132121nn；（3）14tannn；（4）1151nnn；（5）13sin2nnn；（4）1!3nnnnn；（7）443322243233223213；（8）nnnn)12(1；（9）133nnn；（10）12)1(2nnn．3．下列级数哪些是绝对收敛的？哪些是条件收敛的？3（1）11)1(nnn；（2）12sinnnnx；（3）112)1(nnnn．4．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．（1）1nnnx；（2）1)(nnnx；（3）nnnnx02)1(．5．求级数112112)1(nnnnx753753xxxx的收敛域并求和．6．利用已知展开式展开下列函数为x的幂级数并确定收敛域．（1）2)(xexf；（2）xxxf11ln)(；（3）221)(xxxxf．42013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章参考答案一、选择题1.D；2.C；3.A；4.C；5.A；6.A；7.B；8.C．二、填空题1.12uS；2.a；3.充要；4.ex10；5.发散；6.31；7.)1,3(；8.)1(211e．三、解答与证明题1．31)1311(lim31)131231(lim31lim1nkkSnnknnn．2．（1）因01212limlimnnannn，由级数的收敛的必要条件，该级数发散．或者由于nnn21212，且1112121nnnn发散，故由比较判别法，该级数发散．（2）由于23111nnn，且1231nn收敛，故由比较判别法，该级数收敛．（3）由于0414tanlimnnn，且11nn发散，故由比较判别法的极限形式，该级数发散．（4）由于115151nnn，且1151nn收敛，故由比较判别法，该级数收敛．（5）1323sin3sin2limlim11nnnnnnaa，故由比值判别法（达朗贝尔判别法），级数收敛．（6）13)11(3lim!3)1()!1(3limlim111ennnnnaannnnnnnnnn，则由比值判别法，该级数发散．（7）123)1(23lim232)1(3lim111nnnnaannnnnnnn，故由比值判别法，该级数发散．5（8）由于12112limlimnnannnn，故由根值判别法（柯西判别法），该级数收敛．（9）1313limlim3nnnnnna，故由根值判别法，该级数收敛．（10）由于nnn3)1(21，且13limnn，根据两边夹法则知1)1(2limnnn，故1212)1(2limlimnnnnnna，由根值判别法，该级数收敛．3．（1）这是交错级数，nun1，nnuu1，又0nu，由莱布尼兹判别法知故原级数收敛．因取绝对值后的级数11nn通过比较判别法易知其发散，故原级数条件收敛；（2）各项取绝对值后得级数12sinnnnx，因221sinnnnx，及级数121nn收敛，由比较判别法知级数12sinnnnx收敛，所以原级数绝对收敛．（3）各项取绝对值后得级数12nnn，对此正项级数用比值审敛法，有12121limlim1nnuunnnn，故级数12nnn收敛，所以原级数绝对收敛．4．（1）1nan，11limlim1nnaannnn于是该级数的收敛半径为11R，收敛区间为)1,1(．当1x时，该级数为111(1)23n，括号内是调和级数，发散，当1x时，该级数为11111(1)23nn，这是交错级数，满足莱布尼兹判别法收敛条件，故收敛．所以该级数的收敛区间为1,1；（2）nnan，nnnnnnnnaa11)1(limlim于是该级数的收敛半径为0R，则该级数仅在0x处收敛；6（3）nnna2)1(，2122limlim11nnnnnnaa于是该级数的收敛半径为21R，收敛区间为)2,2(．当2x时，幂级数成为11n，是发散的；当2x时，幂级数成为1)1(nn，是发散的．因此收敛域为)2,2(．5．221||1212lim)()(limxxnnxuxunnnn，则由达朗贝尔判别法，当1||x时，级数收敛；当1||x时，级数发散，因此收敛半径1R．因1||x时，得7151311与7151311，根据莱布尼兹判别法，这两个数项级数都收敛，故收敛域为]1,1[．设753)(753xxxxxS，由幂级数的性质，有2642111)(xxxxxS，1||x，xtdtdttSSxSxSxxarctan1)()0()()(020，1||x．6．（1）2)(xexf!3!21642xxx02!)1(nnnnx，||x．（2）)1ln()1ln(11ln)(xxxxxf)432()432(432432xxxxxxxx0111)1(nnnxn)53(253xxx012122nnnx，1||x．（3）])2([31)21111(3121)(002nnnnxxxxxxxxf0))2(1(31nnnx，21||x．