高数样板教案

高等数学教学样板教案授课次序01教学基本指标教学课题微分方程的基本概念可分离变量的微分方程课的类型新知识课教学方法讲授教学手段演示教学重点微分方程、微分方程的阶、微分方程的通解、微分方程的特解，可分离变量的微分方程的解法教学难点微分方程的通解和微分方程的特解参考教材武汉大学与同济大学编《微积分学习指导》安玉伟等编《高等数学定理方法问题》作业布置微积分标准化作业大纲要求了解微分方程的基本概念掌握可分离变量的微分方程的解法双语教学微分方程differentialequation可分离变量的微分方程：separabledifferentialequations微分方程的通解generalsolutionofdifferentialequation微分方程的阶orderofdifferentialequation微分方程的特解particularsolutionofdifferentialequation初值条件initialcondition教学基本内容第四章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程一、引例：一条曲线通过点)2,1(，且在该曲线上任意一点),(yxM处的切线斜率等于x2，求该曲线方程。解：设所求曲线的方程为)(xyy。由导数的几何意义知在),(yx点切线的斜率即为在该点的导数，故曲线方程应满足xdxdy2（1）对上式两端积分，得Cxdxxy22由已知条件)(xyy还应满足当21yx时，（2）代入上式，得1122CC即故所曲线方程为122xdxxy二、基本概念备注栏微分方程：如（1）将含有未知函数的导数的等式叫做微分方程。常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。微分方程在区间I上的解：若在区间I上有定义的某个函数满足微分方程，即将此函数代入微分方程后能使微分方程成为恒等式，就称该函数是微分方程在区间I上的解。微分方程的通解：若微分方程的解中含有互相独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解。定解条件：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件（初值条件）。特解：由初值条件确定了通解中任意常数的值后所得到得解称为特解。微分方程初值问题或柯西问题：求微分方程满足初值条件得特解得为题称为微分方程初值问题或柯西问题。积分曲线：微分方程解得图形称为微分方程得积分曲线。三、可分离变量的微分方程1、定义：凡是能够化为dxxfdyyg)()(形式的一阶微分方程就称为可分离变量的微分方程，将可分离变量的微分方程化为dxxfdyyg)()((*)形式的过程称为分离变量，而对dxxfdyyg)()(两端同时积分来求解的方法称为分离变量法。那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。假定方程（*）中的函数g(y)和f(x)是连续的。设)(xy是方程（*）的解，将它代入（*）中得到恒等式将上式两端积分，并由)(xy引进变量y，得设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C因此，方程（*）的解满足上式。2、举例例1、求微分方程yedxdyx的通解。解：所给微分方程是可分离变量的，分离变量后可得dxeydyx两端积分，得1lnCeyx从而xxxeeCCeeCeeey211这里12CeC为任意的正常数。注意到0y也是方程的解，令C为任意常数，即得所给方程的通解xeCey例2、衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知00MMt,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律.解：衰变速度,dtdM由题设条件0(MdtdM衰变系数）,dtMdM,lnlnCtM即,tCeM代入00MMt得00CeM,CteMM03、可分离变量的微分方程的初值问题初值问题00|)()(yydxxfdyygxx的解为xxyyxdxxfdyyg)()(0例3、求微分方程4|,0sin)1(cos0xxxyydyeydxe的解解：所给微分方程是可分离变量的，分离变量后可得dxeeydyxx1tan利用可分离变量的微分方程初值问题的解法xxxyedxeydy041tanxxxyeedydy041)1(coscos1即xxyey04|)1ln(|cosln化简整理可得)1ln(2lncosln22lnxey即12cos22xey或写成22sec)1(yex小结：本节基本概念：微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-------隐式通解.思考题：1、函数xey23是微分方程04yy的什么解?2、求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy练习题：一、填空题:1、022yxyyx是______阶微分方程；2、022cQdtdQRdtQdL是______阶微分方程；3、2sindd是______阶微分方程；4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数.二、确定函数关系式)sin(21CxCy所含的参数,使其满足初始条件1xy,0xy.三、设曲线上点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程.四、已知函数1xbeaeyxx,其中ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程.五、求下列微分方程的通解:1、0secsec22ytgxdyxtgydx；2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3、0)1(32xdxdyy.六、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、xdxyydyxsincossincos,40xy；2、0sin)1(cosydyeydxx,40xy.七、质量克为1的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在10t秒时,速度等于2/4秒厘米克,外力为2/4秒厘米克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?八、小船从河边处点0出发驶向对岸(两岸为平行直线).设a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例k系数为).求小船的航行路线.