高数测试题八(曲线曲面积分)答案

1高数测试题八（曲线积分与曲面积分部分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、对于格林公式()LDQPPdxQdydxdyxy，下述说法正确的是（C）AL取逆时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶偏导数且QPxyBL取顺时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶偏导数且QPxyCL为D的正向边界，函数P，Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数DL取顺时针方向，函数P，Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数2、取定闭曲面的外侧，如果所围成的立体的体积是V，那么曲面积分=V的是（D）AxdydzydzdxzdxdyB()()()xydydzyzdzdxzxdxdyC()()xyzdydzdzdxdxdyD1()()3xyzdydzdzdxdxdy3、C为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线，则224Cxdyydxxy=（B）A4B0C2D4、设为2222xyza在(0)zhha部分，则zdS=（B）A2222200ahdarrdrB22200ahdardrC222220ahahdardrD2222200ahdarrdr25、设(,)(,),(,)APxyiQxyjxyD，其中P，Q在区域D内具有连续的一阶偏导数，又L是D中任一曲线，则下列关于曲线积分的论断，其中不正确的是（C）A如果LAdl与路径无关，则在区域D内，必有QPxyB如果LAdl与路径无关，则在区域D内，必存在单值函数(,)uxy，使得(,)(,)(,)duxyPxydxQxydyC如果在区域D内，QPxy，则必有LAdl与路径无关D如果对D中的每一条闭曲线C，恒有0LAdl，则LAdl与路径无关二、填空题（每小题5分，共25分）1、设C为依逆时针方向沿椭圆22221xyab一周路径，则()()Cxydxxydy=2ab2、设为球心在原点，半径为R的球面的外侧，在xdydzydzdxzdxdy=34R3、设C为圆周cos,sin(02)xatyatt，则22()Cxyds=32a4、设是由锥面22zxy与半球面222zRxy围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则xdydzydzdxzdxdy=3(22)R35、设有力场22()()(0)kFxyyixjy，已知质点在此力场内运动时，场力F所作的功与路径的选择无关，则k=1三、计算题1、（8分）计算()Lxyds，其中L是以(0,0),(1,0),(0,1)OAB为顶点的三角形的周界。解：111000()()()()212LOAOBABxydsxydsxydsxydsxdxydydx2、（8分）计算2222()()Lxydxxydy，其中L为沿曲线11yx从点O（0，0）到B（2，0）一段。解：0111212LOAABxxyxxx1222222220222221()()()4{(2)[(2)]}3Lxydxxydyxxxxdxxxxxdx3、（8分）计算22CxdyydxIxy，其中C是沿曲线22(2)xy从点A(22,2)到点B(22,2)的一段。解：利用格林公式，补充一段BA，因为22222()QPyxxyxy，((,)(0,0))xy，作包含（0，0）的辅助闭曲线1Ccos,sinxy，:20得1222200CCBADxydydxdxdyxyxy，所以4122222222222022()2(cossin)22arctan22CCBAxdyydxxdyydxIxyxydxdx4、（10分）设曲线积分2()Lxydxyxdy在全平面上与路径无关，其中()()xx具有一阶连续导数，且(0)0，计算(1,1)2(0,0)()xydxyxdy解：2,()PxyQyx，由条件知QPxy，得2()xyyx，当0y时，22()2,().(0)0,()xxxxCxx，取直线段:(01)OAyxx，由O（0，0）到A（1，1）(1,1)22(0,0)1()()2OAxydxyxdyxydxyxdy5、（8分）计算4(2)3zxydS，其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分解：写成4442,2,33xyzxyzz3:03,022xyDyxx，226113xydSzzdxdydxdy44461361(2)[(42)(2)]33382xyDzxydSxyxydxdy6（8分）设()fu具有连续导函数，计算曲面积分33311[()][()]yyIxdydzfydzdxfzdxdyzzyz，其中为50x的锥面222xyz与球面2222221,4xyzxyz所围成立体表面的外侧。解：3332222211,(),()113,()3,()3yyPxQfyRfzzzyzPQyRyxfyfzxyzzzzz由高斯公式得222224400193(333)3sin(22)5Ixyzdvddrdr