高数测试题十(微分方程)答案

1高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若12,yy是方程()()(()yPxyQxQx0)的两个特解，要使12yy也是解，则与应满足的关系是（D）A12B1C0D122、下列方程中为全微分方程的是（C）A22(22)(1)0xyydxxydyB2222()()0xxydxyxydyC22(1)20ededD22()(2)0xydxxyxdy3、设为实常数，方程220yyy的通解是（D）A12xCeCB12cossinCxCxC12(cossin)xeCxCxD12()xCCxe4、方程22cosxyyyex的特解*y形式为（B）AcosxaxexBcossinxxaxexbxexC22cossinxxaxexbxexD2cosxaxex5、已知0()xxyeytdt，则函数()yx的表达式为（D）AxyxeCBxyxeCxxyxeCeD(1)xyxe二、填空题（每小题4分，共20分）21、方程212ydydxxe的通解是2()yxeyC2、方程(1)xyy的通解是(ln)yxxC3、以2212,xxyeyxe为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440yyy4、已知方程0yy的积分曲线在点(0,0)O处与直线yx相切，则该积分曲线的方程为1()2xxyeeshx5、方程0xdyydx的一个只含有x的积分因子为21x三、（共60分）1、（8分）求方程(1)(223)0yxdxyxdy的通解解：令1yxu，则dydudx，代入原方程得(1)(21)udxudu即1(2)1dudxu，两边积分得12ln(1)uuxC，代回原方程，得通解2ln(2)yxyxC2、（6分）求方程22(1)(233)xdyxyxdx的通解解：方程改写为2231xyyx，则通解为22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan)xxyeedxCxCx3、（8分）求微分方程21(1)()02yyxedxxeydy的通解解：设21(,)1,(,)2yyPxyxeQxyxey3有yPQxeyx，则原方程为全微分方程，于是2222001111(,)(1)()2222xyyyuxyxdxxeydyxxxey故原方程的通解为2222yxxxeyC4、（10分）求解2312,(0)1,(0)2yyyyyy解：此方程不含x，令yP，则dPyPdy，原方程化为232212,2dPdPyPPyPPydydyy此方程为贝努力方程，令2Pz，上述方程化为21dzzydyy则ln2ln1[]yyzeyedyC，即24311111()44CyyCyyy，由初始条件1(0)1,(0)2yy得10C，于是，方程化为2314yy，或3212dyydx由初始条件应取3212dyydx，即3212ydydx，积分得2114xCy，再由初始条件(0)1y得21C，所以原方程的特解为1114xy或21(1)4yx5、（6分）求方程(4)30yy的通解4解：特征方程为4230rr，特征根为123,40,3rrri方程的通解为1234cos3sin3yCCxCxCx6、（10分）求方程223yyx的通解解：对应的齐次方程为0yy，其特征方程为20rr特征根为120,1rr，齐次方程的通解为12xYCCe因0是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()yxbxbxb代入原方程，比较系数得0122,2,13bbb，于是得到一个特解*22(21)3yxxx，所求方程的通解为*2122(21)3xyYyCCexxx7、（12分）求满足条件(0)1,(0)1ff且具有二阶连续导数的函数()fx，使方程3()[sin2()]02fxydxxfxdy是全微分方程。并求出全微分方程经过点(,1)的一条积分曲线。解：由全微分方程的条件知：()3cos2()fxxfx，即()()3cos2fxfxx，对应的齐次方程的特征根为1,2ri齐次方程的通解为12cossinFCxCx。因为2ii不是特征根，则方程的特解形式为*cos2sin2fAxBx，代入方程解得1,0AB，故*cos2fx，方程的通解为*12cossincos2fFfCxCxx，代入初始条件5(0)1,(0)1ff，得120,1CC，因此，所求函数为()sincos2fxxx将其代入原方程中，得全微分方程3(sincos2)[sin2cos2sin2]02xxydxxxxdy再求其满足()1y的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为101[sin2cos],(sin22cos)2yxxdyCxxyC由条件()1y得2C，故所求积分曲线为2sin22cosyxx