高数第2章导数与微分

5第2章导数与微分总结一、重点：1.导数的概念；2.基本初等函数的导数；3.函数和、差、积、商的导数；4.复合函数的求导法则；5.微分的意义；6.微分与导数的关系及微分的求解。二、难点：1.导数概念；2.复合函数的求导法则；3.隐函数的导数；4.微分形式的不变性。三、必须掌握的内容：1.导数的定义；2.单侧导数，导函数；3.导数的几何意义；4.导数与连续的关系；6.基本初等函数的导数即导数基本公式；7.函数和、差、积、商的导数；8.复合函数的求导法则；9.隐函数的求导法则；10.取对数求导方法；11.高阶导数；12.微分的定义；13.微分与导数之间的关系；14.微分基本公式及其运算法则；15.微分形式的不变性；16.微分的求解；17.微分在近似计算的应用（了解）。第一节重点：导数概念；可导的主要条件；可导与连续的关系；可导的几何意义；难点：单侧导数；可导与连续的关系。定义1：函数()yfx在点0x的某邻域内有定义，当自变量x在点0x处有改变量x时，得对应的函数增量y。如果极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称函数()fx在点0x处是可导的（否则称函数()fx在点0x处不可导）；且把该极限称为函数()fx在点0x处的导数。记作：0()fx，或0xxy，0xxdydx即：0000()()()limxfxxfxfxx，若令0xxx，上式可表示为：0000()()()limxxfxfxfxxx利用定义可求函数在某点的导数。例如：求2()3fxx在1x处的导数等。定义2：若函数()fx在区间(,)ab内的每一点处都可导，则称函数()fx在区间(,)ab内可导。由于导数的值与点x有关，对于区间(,)ab内的每一个x的值，都有唯一确定的导数值与之对应，这样就确定了区间(,)ab内的一个函数()fx，称之为函数()fx在区间(,)ab内的导函数，简称导数，记作：()fx，或y，dydx，dxxdf)(。例如：3()fxx的导数是2()3fxx，那么22(2)312xfx。定义3：如果极限000()()limxfxxfxx存在，则称其为函数()fx在点0x处的左导数，5记作0()fx；如果极限000()()limxfxxfxx存在，称其为函数()fx在点0x处的右导数，记作0()fx。左、右导数统称为函数的单侧导数。左、右导数也可分别表示如下：0000()()()limxxfxfxfxxx；0000()()()limxxfxfxfxxx结论:0()fx存在的充分必要条件是函数()fx在点0x的左、右导数分别存在且相等。即：000()()()fxAfxfxA注意：本条件主要用于判断分段函数在分界点处是否可导。例：讨论函数20()01211xxfxxxxx，在点0x处的连续性及可导性。解：（连续性）∵00lim()lim()0xxfxx，200lim()lim0xxfxx；∴0lim()0xfx，又∵0(0)0lim()xffx∴()fx在0x处连续。（可导性）：∵00()(0)(0)limlim10xxfxfxfxx200()(0)(0)limlim00xxfxfxfxx)0()0(ff∴()fx在0x处不可导。注意在分界点讨论连续和可导方法。可导与连续的关系：若函数()yfx在点0x处可导，则()fx在点0x处一定连续。关于可导与连续的关系可总结如下：①若()fx在点0x处可导，则()fx在点0x处一定连续；②若()fx在点0x处连续，则()fx在点0x处不一定可导（可举例说明）；③若()fx在点0x处不连续，则()fx在点0x处一定不可导；④若()fx在点0x处不可导，则()fx在点0x处不一定连续。导数的几何意义：函数()fx在点0x处的导数0()fx，就是曲线()yfx在点00(,())xfx处切线的斜率K.即0()Kfx.例如：求过曲线2yx上点(2,4)处的切线方程。5解：由导数定义3.1可求出24xy.∴24xKy切那么所求切线方程是：44(2)yx即440yx.本节小结：通过本节学习，要理解和掌握导数概念；可导的充要条件及利用该条件来判别在某点导数是否存在；导数的几何意义及相关问题的求解；掌握可导与连续之间的关系，并明确连续是可导的必要条件。第二节重点：①基本求导公式；②函数和、差、积、商的导数；③复合函数求导法则；④隐函数的导数；难点：①复合函数求导法则；②隐函数的导数。1、基本求导公式：（见课本）注意：①以上公式是求函数的导数最基本工具，一定要记住；②公式中函数是基本初等函数。2、四则运算：函数和、差、积、商的导数（见课本）可以通过以下例题来进一步掌握和巩固以上法则。1、设34cossin2yxx，求y；2、设(sincos)xyexx，求y；3、设4343xyx，求y；4、设2211xyx，求y。解略。3、复合函数求导法则：设函数()ux在点x可导，函数()yfu在对应点u可导，则复合函数[()]yffx在点x可导，且()()dyfuxdx。重复利用上述方法，可以把定理推广到函数有限次复合的情形。可以通过做下面题目来进一步掌握和巩固以上法则。1.设6(31)yx，求y；2.设8()21xyx，求y；3.设23xye，求y；4.设22ln()yxxa，求y。解略。注意：①以上例题讲解可先做一至两道写出复合过程然后再进行求导数，然后过渡到把复合过程记在心里，进行求导数；②要得到强调写出复合过程求导数与不写出复合过程求导数的书写格式上的区别。如：sin2yx：1、若设sinyu，2ux，则(sin)(2)yux；2、若把复合过程记在心里，则(sin2)cos2(2)yxxx。4、隐函数的导数：对方程(,)0Fxy（设y是x的函数）两边关于x求导，遇到y的函数就看成是关于x的复合函数，这样便得到关于所求导数y的方程，然后从中解出y即可。可以通过以下例题来进一步掌握和巩固以上方法：1.求由方程xyxye所确定的函数)(xyy的导数y；52.求由方程22ln()arctanyxyx所确定的y关于x的导数y；3.求曲线224xxyy上点(2,2)处的切线方程。5、取对数求导法取对数求导数意义：①是通过取对数将幂指函数()[()]vxyux转型；②是可使较复杂的求导过程简化。可以通过以下例题来进一步掌握和巩固此方法。1.已知xyx，求y；2.已知xeyx，求y；3.已知(1)(2)(3)(4)xxyxx，求y；4.已知sin21xyxx，求y。解略。本节小结：通过本节学习：①要熟记基本求导公式，函数的和、差、积、商的求导法则；②要理解和熟练掌握复合函数求导法则；③掌握隐函数求导数方法和取对数求导方法。第三节重点：①高阶导数的概念；②高阶导数的求解；难点：n阶导数的求解。定义：设函数()yfx在x处可导，若()fx在x处仍可导，则称()fx的导数为()yfx在x处的二阶导数，记为：()fx，y或22dydx；注意：①0()()()limxfxxfxfxx类似地，可定义三阶导数、四阶导数直到n阶导数。例题：1.4351210yxxx，求y；2.1yx，求()ny；本节小结：通过本节学习：①要理解高阶导数的概念；②要掌握高阶导数的求解。第四节重点：①微分的概念；②微分与导数的关系；③微分在近似计算中的应用。本节难点：①微分的概念；②微分形式的不变性。1、定义：对于函数()yfx，当自变量在点x处有改变量x时，如果函数()yfx的相应改变量y可表示为：yAxx，其中A与x无关，而当0x时，为无穷小量，则称函数()yfx在点x处可微，并称Ax为函数()yfx在点x处的微分。记作：dyAx。上式中的A是什么？如何确定A的值？2、定理：函数()yfx在点x处可微的充分必要条件是函数()yfx在点x处可导，且()Afx。为此，函数()yfx在点x处的微分可写成：()dyfxdx。5yyo0xxx0xdy1MMNT)(xfy3、微分的几何意义如图：由此可见，当y是曲线()yfx上的点的纵坐标增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。4、微分法则：由于()dyfxdx，所以利用求导公式及求导法则便可得到相应的微分公式和微分基本公式（见课本）。通过以下例题来进一步掌握和巩固微分基本公式和运算法则。1.设cosxyex，求dy；2.设2sin1xyx，求dy。5、微分形式的不变性：设函数()yfx在x处可微，（1）若x为自变量，微分()dyfxdx；（2）若x不为自变量，而是中间变量时，即设()xt，且()t存在，则y为t的复合函数，则有：()()()dyfxtdtfxdx（∵()dxtdt）比较（1）、（2）可知，不论x是自变量还是中间变量，函数()yfx的微分形式总是()dyfxdx，即为微分形式的不变性。例如：设sin2xye，运用微分定义求解如下：sin2sin2()2cos2xxdyedxxedx.也可由微分形式不变性求解如下：sin2sin2sin2()(sin2)cos2(2)2cos2xxxdyedxexdxxedx.注意：利用微分定义求函数的微分主要体现在求导上，对学生来说更熟悉、更准确应强调这种方法，而运用微分形式的不变性求函数的微分则是微分理论上的一种要求。