高数第9章答案

高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题91,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,nABxyzxyz指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0.2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A且垂直于线段AB.解：设所求平面的法向量为n由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230230,,,.46460AxByCzDABDDDDABcDABCBD的平面方程。解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=04求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t，则平面方程由截距式1,,0,3yzttDx可得：x将点（1,-1,2）代入，1-1+2=tt=2.t故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x轴和M(2,-1,1)解：设所求过x轴平面方程为By+Cz+D=0,将M代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz平面且经过点（3,0,5）D解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然3故平面方程(0),202.6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121133,3,.321213DBCyAByxyzABACACACAC(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0,2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程将代入解得：故平面方程为21,230333xyzxyz：即：7.2608(1,1,1)2410350.0,0239240,,10350xyzxyzxyzAxByCzDABCDABCABABC过点（1,2,3）且平行于x-2y-z+6=0.解：设平面方程为tx-2ty-tz+D=0(t0)D将点代入：t-4t-3t+D=0,t=故平面方程为：6过点且垂直于和解：设平面方程由题意得：解得：2,,10523910409CDCxyz故平面方程为：判别下列每组中两个平面是否平行，垂直，重合或相交：（1）x-3y+2z-1=0,2x-6y+4z+2=0;(2)x-y+z-1=0,2x+y+z+1=0;(3)3x+y+z+1=0,x-4y+z+2=0;(4)2x+3y+z-1=0,4x+6y+2z-2=0;10求经过原点及（6,-3,2）且与平面4x-y+2z=8垂直的平面。解：设2223,,,0,0,2:223011(0,1,0)000,2,,.12ABCBDBxyzAxByCzDBDCDADBDCDABCC平面方程Ax+By+Cz+D=0,由题意得：D=06A-3B+2C+D=0解得：显然4A-B+2C=0故平面方程为求过和（0,0,1）且与xOy平面成角的平面方程3解：设平面方程为解得：显然0,21012{2,1,3};(2)(1,2,3);(3)Dxyz故平面方程为分别求满足下列每组条件的直线标准方程：（1）过点(1,2,3)且平行于向量s过原点及过点（1,0,-1）且平行与x轴；（4）经过点（0,-3,2）而与两点（3,4,-7)和(2,7,-6)的连线平行。1310,(2)10;2340,290,(3)(4)35210;8230;11114925326015(2,1,1)420xyyzxyzxzxyzyzxyzxyzMxyz化下列直线的一般方程为标准方程：x+2y-z-6=0,（1）2x-y+z+1=0;化直线的标准方程为直线的一般方程。求过点且平行于直线162211,;01110210,10,(2)210,210.173,348976,4512yzxyzxyzxyzxyzxyzyzyzxy的直线方程。求下列两直线的交角：x-1（1）1判定下列每组直线是否共面？若共面，求它们所在的平面方程。x（1）直线:x-y-3=0,3x-y-z-4=0;2x+2(2)37.21867,3614324030(2),.50201944223;73(2)327233;1420(1,2zxyyzxyzxyzxxzzyzxyzyzxyz判定下列每组直线是平行还是垂直3x+z=4（1）y+2z=9讨论下列直线与平面的位置关系：x+3（1）和2和3x-2y+7z=8;x-2(3)和3求12222010101110000222,1)2210021,221,22,12,[(1)(2)(1)]|14210|7,3144xyzyztytztdxyzAxByCzDtdABC1到平面的距离。解：过点且垂直于已知平面的直线方程为：x-1由直线与平面位置关系（垂直）可知交点坐标：1x故距离其中解得：21345103453024122(1,2,1)13123(1,2,3),78910045632412125(3,2,1)0xyzxyzxyzxyzxyzyzxM求两平行平面及间的距离。求过点且与直线垂直的平面方程。求过点垂直于直线且平行于平面的直线方程。x+1求经过点（2,-1,3）,平行于平面x-y+z=1并与直线1相交的直线方程。求点到直线21112262310126122721121{,,}320(1)213yzxyzxyzyzyzmnpmnpxyzmnp的距离求直线与平面的交点。x-1求经过直线且垂直于平面x-4y+3z+6=0的平面方程。3x+128过M(2,1,3)且与垂直相交的直线方程。3解：设所求直线方程的方向向量为Smnp又两直线共面：30(2)12,,2213214290,10(1,1,1)234030:,350pmnmxyzxyzxyzMxyzLyxz2-12+11-13综上，解得：故所求直线方程为：求通过直线和点的平面方程。求直线且在轴和z轴上有相等截距的平面方程。31求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与它的交线在xOy平面上的平面方程。解：设平面方程为5300265,.,2,3:153266031ABCzAtBtCtDtxyzAx+By+Cz+D=0,5A-B+3C=0(A-5t)x+(B+t)y+(C-3t)z+D+2t=0(t0)综上，解得：故所求平面方程为求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与y轴和z轴上有相等截距的平面方程。10320101(1)033(1,2,3xyzxyzxyzLxyzxyz1求直线在平面上的投影方程。解：设通过直线的平面方程为：即：（1+）x+(1-)y+(1+)z-1+=0,与所给平面垂直，则：1++1-+1+=0，解得：=-3，所求平面为：-2x+4y-2z-4=0-x+2y-z-2=0故投影方程为x+y+z=0求到两定点M2222222222),(2,1,4)34450;(2)242100.35(1)(2),39(MyzzxyzxyzyzR222的距离相等点的轨迹方程。求下列球面的中心和半径：（1）x求满足下列条件的各球面的方程：（1）中心在点（1,2,3）且半径为4（2）中心在（1，-1，2）且过点（2,1,4）解：设所求球面方程为:(x-1)将点坐标代入，解得：R故球面：2222222222222221)(1)(2)9(3)1644(2)4;(2)16253722120381;(2)916xyzxyzyzzxyzxyzxyzyz22中心在点（1,2,1）且与平面x+2y+2z-10=0相切。36指出下列方程组表示的曲线：x（1）求圆的圆心和半径下列方程代表什么曲面，并作出他们的草图：x（1）22222222222222224;(3)4;(4)490;(5)0;(6)1.49392216,0409,341(,)0,01xxxyxyxyxyzxyzyzxyzFxyzyzx222分别求母线平行于轴和y轴而通过曲线x的柱面方程。求母线平行于z轴,准线为L:x的柱面方程。求以曲线为准线，以l,m,n为柱面母线的方向数的柱面方程。42求以曲线：x2:300430,2xyzyzyzzx2为准线，母线垂直于平面的柱面方程。求曲面x在xOy坐标面上的投影曲线。22222242222401640,01600160381245244yxxyzyxxOyyOzzzzxOzxyyzxzxyzxz222244柱面x与球面的交线在各坐标平面上的投影曲线。x解：在坐标平面投影：在坐标平面投影16y在坐标平面投影：4x+z试把曲线方程换成母线平行于轴与z轴的投影柱面的交线的方程。46求维维安尼（V222222200016,0936,02,0231148:3231(yzaxyaxzyzyzxxyxxxyzLyMx2222xiviani)曲线在三个坐标面上的投影曲线。47写出下列曲线绕指定轴旋转一周所得曲面方程，并作出草图：（1）x绕轴；（2）y=5x,z=0绕x轴；(3)4x绕轴；（4）z绕轴。求直线绕定直线旋转一周所产生曲面。解：设00000022220000002222222,,)(,,)(,,)(2)(3)(2)(3),31123146313180491,;(2)2,yzLMxyzMxyzzxyxyzzxyzxxyyzzyzcxpyzab2为为任一点为旋转定直线所得的点。由于定直线平行于轴，故：所得曲面方程为：求以原点为顶点，下列曲线为标准的锥面方程：x（1）22222222222222222;(3)9,1;(4)1,1.1,0()()1(1),,0;11(1)0cyzxxyzxyzyzabxtytxyztababzt2x50求顶点在A(0，0，1)，准线的锥面方程。解：消去得：2222222222222222222222222(1)0511;(2)94436;(3)4449(4)(5)0;(6)20;44(7)0;(8)091652(0,0,1)xyzabzyxyzxyzxzzyxyxyzyzyzxx2即得所求锥面为：指出下列二次方程表示什么曲面？若它们为旋转曲面，指出它们是如何产生的？并作出草图：x（1）求一动点与2222222222222|4|(,,),2(1),14[(1)](4)44312,1,33451050